将函数 f(x) = ln(1+x) 展开成 x 的幂级数时，可通过对接 (1)/(1+x) 的幂级数逐项积分得到，其展开式为 sum_(n=1)^infty ((-1)^n+1 x^n)/(n)，收敛域为 (-1, 1]。A. 对B. 错

本题考查函数展开成幂级数的方法以及幂级数收敛域的求解。解题思路是先明确$\frac{1}{1 + x}$的幂级数展开式，再通过对其逐项积分得到$\ln(1 + x)$的幂级数展开式，最后分析该幂级数的收敛域。

1. 求$\frac{1}{1 + x}$的幂级数展开式：
   根据等比级数的求和公式，当$\vert q\vert<1$时，$\sum_{n = 0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1 - q}$。
   令$q=-x$，则$\frac{1}{1 + x}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n x^n$，其收敛域为$\vert -x\vert<1$，即$\vert x\vert<1$，也就是$(-1,1)$。
2. 对$\frac{1}{1 + x}$的幂级数展开式逐项积分求$\ln(1 + x)$的幂级数展开式：
   已知$\ln(1 + x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1 + t}dt$，将$\frac{1}{1 + t}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n t^n$代入可得：
   $\ln(1 + x)=\int_{0}^{x}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n t^n dt$
   根据幂级数的逐项积分性质，$\int_{0}^{x}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n t^n dt=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^n dt$。
   计算积分$\int_{0}^{x}t^n dt=\left[\frac{t^{n + 1}}{n + 1}\right]_0^x=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$，则$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^n dt=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$。
   令$m=n + 1$，当$n = 0$时，$m = 1$，则$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n + 1}}{n + 1}=\sum_{m = 1}^{\infty}(-1)^{m - 1}\frac{x^{m}}{m}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}x^n}{n}$。
3. 分析$\ln(1 + x)$的幂级数展开式的收敛域：
   • 原级数$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n x^n$的收敛域为$(-1,1)$，根据幂级数逐项积分后收敛半径不变，可知$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}x^n}{n}$的收敛半径$R = 1$，即收敛区间为$(-1,1)$。
   • 当$x = 1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}$，这是一个交错调和级数，根据交错级数的莱布尼茨判别法，$u_n=\frac{1}{n}$单调递减且$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以该级数收敛。
   • 当$x = -1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}(-1)^n}{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{-1}{n}=-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，这是调和级数，调和级数是发散的。
     综上，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}x^n}{n}$的收敛域为$(-1,1]$。