题目
已知直线l与椭圆(({x^2)})/(6)+(({y^2)})/(3)=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2sqrt(3)，则l的方程为 ____ ．
已知直线l与椭圆$\frac{{{x^2}}}{6}$+$\frac{{{y^2}}}{3}$=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2$\sqrt{3}$，则l的方程为 ____ ．
题目解答
答案
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1，
相减可得：$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则kOE•kAB=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
设直线l的方程为：y=kx+m，k＜0，m＞0，M（-$\frac{m}{k}$，0），N（0，m），
∴E（-$\frac{m}{2k}$，$\frac{m}{2}$），∴kOE=-k，
∴-k•k=-$\frac{1}{2}$，解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|MN|=2$\sqrt{3}$，∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，化为：$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+m2=12．
∴3m2=12，m＞0，解得m=2．
∴l的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，即x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$=0，
故答案为：x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$=0．
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1，
相减可得：$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则kOE•kAB=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
设直线l的方程为：y=kx+m，k＜0，m＞0，M（-$\frac{m}{k}$，0），N（0，m），
∴E（-$\frac{m}{2k}$，$\frac{m}{2}$），∴kOE=-k，
∴-k•k=-$\frac{1}{2}$，解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|MN|=2$\sqrt{3}$，∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，化为：$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+m2=12．
∴3m2=12，m＞0，解得m=2．
∴l的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2，即x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$=0，
故答案为：x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$=0．