题目
215 若 sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x+1))^n 在 x=1 处收敛,则此级数在 x=-2 处-|||-(A)条件收敛. (B)绝对收敛.-|||-(C)发散. (D)敛散性不定.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的收敛半径
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ 在 x=1 处收敛，说明当 x=1 时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(1+1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}$ 收敛。根据阿贝尔定理，幂级数的收敛半径 R 满足 $|x+1| < R$，且当 $|x+1| = R$ 时，级数可能收敛也可能发散。由于在 x=1 处收敛，即 $|1+1| = 2$，所以收敛半径 $R \geq 2$。
步骤 2：判断 x=-2 处的敛散性
当 x=-2 时，$|x+1| = |-2+1| = 1$，由于 $1 < 2$，即 $|x+1| < R$，根据阿贝尔定理，幂级数在 $|x+1| < R$ 的范围内绝对收敛。因此，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(-2+1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}$ 绝对收敛。
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n}$ 在 x=1 处收敛，说明当 x=1 时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(1+1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}$ 收敛。根据阿贝尔定理，幂级数的收敛半径 R 满足 $|x+1| < R$，且当 $|x+1| = R$ 时，级数可能收敛也可能发散。由于在 x=1 处收敛，即 $|1+1| = 2$，所以收敛半径 $R \geq 2$。
步骤 2：判断 x=-2 处的敛散性
当 x=-2 时，$|x+1| = |-2+1| = 1$，由于 $1 < 2$，即 $|x+1| < R$，根据阿贝尔定理，幂级数在 $|x+1| < R$ 的范围内绝对收敛。因此，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(-2+1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}$ 绝对收敛。