题目

【例10】已知f(x)连续，int_(0)^xtf(x-t)dt=1-cos x，求int_(0)^(pi)/(2)f(x)dx的值.

【例10】已知f(x)连续，$\int_{0}^{x}tf(x-t)dt=1-\cos x$，求$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$的值.

题目解答

答案

令 $u = x - t$，则 $t = x - u$，积分变为 \[ \int_{0}^{x} t f(x-t) \, dt = \int_{0}^{x} (x-u) f(u) \, du = x \int_{0}^{x} f(u) \, du - \int_{0}^{x} u f(u) \, du. \] 对两边求导得 \[ \int_{0}^{x} f(u) \, du = \sin x. \] 令 $x = \frac{\pi}{2}$，得 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = \sin \frac{\pi}{2} = 1. \] 答案：$\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查积分方程的求解方法，涉及变量替换、积分变换以及微积分基本定理的应用。关键在于将原积分方程转化为可求导的形式，进而通过求导消去积分号，建立微分方程。

解题核心思路：

  1. 变量替换：通过令$u = x - t$，将原积分转化为关于$f(u)$的表达式，拆分后得到两个积分的组合。
  2. 求导消元：对等式两边关于$x$求导，利用莱布尼茨积分法则，将积分方程转化为微分方程。
  3. 直接代入求值：通过微分方程直接得到$\int_{0}^{x} f(u) \, du = \sin x$，最终代入$x = \frac{\pi}{2}$即可求得结果。

变量替换与积分拆分

令$u = x - t$，则$t = x - u$，积分上下限变为$u$从$0$到$x$，原积分变为：
$\int_{0}^{x} t f(x-t) \, dt = \int_{0}^{x} (x - u) f(u) \, du = x \int_{0}^{x} f(u) \, du - \int_{0}^{x} u f(u) \, du.$

对等式两边求导

对等式两边关于$x$求导，利用莱布尼茨积分法则：

  • 左边求导：
    $\frac{d}{dx} \left[ x \int_{0}^{x} f(u) \, du - \int_{0}^{x} u f(u) \, du \right] = \int_{0}^{x} f(u) \, du + x f(x) - x f(x) = \int_{0}^{x} f(u) \, du.$
  • 右边求导：
    $\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x.$

建立微分方程

由此得到：
$\int_{0}^{x} f(u) \, du = \sin x.$

代入求值

令$x = \frac{\pi}{2}$，则：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$