下列哪个选项中的函数不是所给微分方程的解A. y'' + y = 0, y = 3 sin x - 4 cos xB. y'' = 1 + y^2, y = x^2 + CC. xy' = 2y, y = 5x^2D. y'' - (2)/(x) y' + (2)/(x^2) y = 0, y = C_1 x + C_2 x^2

考查要点：本题主要考查验证给定函数是否为微分方程解的能力，需通过代入法逐一检验各选项是否满足方程。

解题核心思路：对每个选项中的函数求出所需阶数的导数，代入对应的微分方程，验证等式是否成立。若等式成立，则该函数是解；否则不是。

破题关键点：

1. 正确计算各阶导数，避免计算错误。
2. 代入方程时注意代数运算的准确性，尤其是多项式展开和合并同类项。
3. 特殊选项的识别：如选项B中，方程右边为$1 + y^2$，而$y''$为常数，显然无法满足非线性关系。

选项A

微分方程：$y'' + y = 0$
函数：$y = 3 \sin x - 4 \cos x$

1. 求导：
   • 一阶导数：$y' = 3 \cos x + 4 \sin x$
   • 二阶导数：$y'' = -3 \sin x + 4 \cos x$
2. 代入方程：
   $y'' + y = (-3 \sin x + 4 \cos x) + (3 \sin x - 4 \cos x) = 0$
   结论：满足方程。

选项B

微分方程：$y'' = 1 + y^2$
函数：$y = x^2 + C$

1. 求导：
   • 一阶导数：$y' = 2x$
   • 二阶导数：$y'' = 2$
2. 代入方程：
   $y'' = 2 \quad \text{与} \quad 1 + y^2 = 1 + (x^2 + C)^2 = 1 + x^4 + 2C x^2 + C^2$
   结论：$2 \neq 1 + x^4 + 2C x^2 + C^2$，不满足方程。

选项C

微分方程：$xy' = 2y$
函数：$y = 5x^2$

1. 求导：
   • 一阶导数：$y' = 10x$
2. 代入方程：
   $xy' = x \cdot 10x = 10x^2 \quad \text{与} \quad 2y = 2 \cdot 5x^2 = 10x^2$
   结论：等式成立，满足方程。

选项D

微分方程：$y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2}{x^2} y = 0$
函数：$y = C_1 x + C_2 x^2$

1. 求导：
   • 一阶导数：$y' = C_1 + 2C_2 x$
   • 二阶导数：$y'' = 2C_2$
2. 代入方程：
   $\begin{aligned} y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2}{x^2} y &= 2C_2 - \frac{2}{x}(C_1 + 2C_2 x) + \frac{2}{x^2}(C_1 x + C_2 x^2) \\ &= 2C_2 - \frac{2C_1}{x} - 4C_2 + \frac{2C_1}{x} + 2C_2 \\ &= 0 \end{aligned}$
   结论：等式成立，满足方程。