题目
【题目】求曲面 3x^2+y^2-z^2=27 在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程
【题目】求曲面 3x^2+y^2-z^2=27 在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程
题目解答
答案
【解析】解因为竖坐标z=10,所以z=√(3x^2+y^2-27) 由于(∂z)/(∂x)=(3x)/(√3x^2-y^2-27) (∂z)/(∂y)=y/(√(3x^2+y^2-27)) f_x(3,1)=9 f_Y(3,1)=1故切平面方程z-1=9.(x-3)+1·(y-1),即9x+y-z=27,法线方程(x-3)/9=(y-1)/1=(z-1)/(-1)
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算曲面方程 3x^2 + y^2 - z^2 = 27 在点 (3,1,1) 处的偏导数。偏导数表示曲面在该点处沿 x 和 y 方向的斜率。
∂f/∂x = 6x
∂f/∂y = 2y
∂f/∂z = -2z
步骤 2：计算偏导数值
将点 (3,1,1) 代入偏导数表达式中，得到偏导数值。
∂f/∂x(3,1,1) = 6 * 3 = 18
∂f/∂y(3,1,1) = 2 * 1 = 2
∂f/∂z(3,1,1) = -2 * 1 = -2
步骤 3：计算切平面方程
切平面方程可以表示为：
∂f/∂x(x - x0) + ∂f/∂y(y - y0) + ∂f/∂z(z - z0) = 0
将偏导数值和点 (3,1,1) 代入切平面方程中，得到：
18(x - 3) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0
化简得到切平面方程：
18x + 2y - 2z = 54
步骤 4：计算法线方程
法线方程可以表示为：
(x - x0)/∂f/∂x = (y - y0)/∂f/∂y = (z - z0)/∂f/∂z
将偏导数值和点 (3,1,1) 代入法线方程中，得到：
(x - 3)/18 = (y - 1)/2 = (z - 1)/(-2)
首先，我们需要计算曲面方程 3x^2 + y^2 - z^2 = 27 在点 (3,1,1) 处的偏导数。偏导数表示曲面在该点处沿 x 和 y 方向的斜率。
∂f/∂x = 6x
∂f/∂y = 2y
∂f/∂z = -2z
步骤 2：计算偏导数值
将点 (3,1,1) 代入偏导数表达式中，得到偏导数值。
∂f/∂x(3,1,1) = 6 * 3 = 18
∂f/∂y(3,1,1) = 2 * 1 = 2
∂f/∂z(3,1,1) = -2 * 1 = -2
步骤 3：计算切平面方程
切平面方程可以表示为：
∂f/∂x(x - x0) + ∂f/∂y(y - y0) + ∂f/∂z(z - z0) = 0
将偏导数值和点 (3,1,1) 代入切平面方程中，得到：
18(x - 3) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0
化简得到切平面方程：
18x + 2y - 2z = 54
步骤 4：计算法线方程
法线方程可以表示为：
(x - x0)/∂f/∂x = (y - y0)/∂f/∂y = (z - z0)/∂f/∂z
将偏导数值和点 (3,1,1) 代入法线方程中，得到：
(x - 3)/18 = (y - 1)/2 = (z - 1)/(-2)