设f与g都在[a,b]上可积,证明-|||-(x)=max f(x), g(x)), (x)=min f(x),g(x) -|||-在[a,b]上也都可积.

步骤 1：定义函数
定义函数 $M(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ 和 $m(x) = \min\{f(x), g(x)\}$，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积。

步骤 2：利用可积函数的性质
由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，根据可积函数的性质，$f(x) \pm g(x)$ 也在区间 $[a, b]$ 上可积。

步骤 3：利用绝对值函数的性质
由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，根据绝对值函数的性质，$|f(x) - g(x)|$ 也在区间 $[a, b]$ 上可积。

步骤 4：利用可积函数的线性组合
由于 $f(x) + g(x)$ 和 $|f(x) - g(x)|$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，根据可积函数的线性组合性质，$\frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}$ 和 $\frac{f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|}{2}$ 也在区间 $[a, b]$ 上可积。

步骤 5：证明 $M(x)$ 和 $m(x)$ 的可积性
由于 $M(x) = \max\{f(x), g(x)\} = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}$ 和 $m(x) = \min\{f(x), g(x)\} = \frac{f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|}{2}$，根据步骤 4 的结论，$M(x)$ 和 $m(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积。