3.设函数 f(x)= { ,xgt 0 ln (1+x),-1lt xleqslant 0 . 求f(x)函数的间断点,并分析间断点的类型.

考查要点：本题主要考查分段函数的间断点判断，需要掌握第一类间断点（可去、跳跃）和第二类间断点（无穷、振荡）的定义及判断方法。

解题核心思路：

1. 确定分界点：分段函数的分界点（如x=0）通常是间断点的候选。
2. 检查内部连续性：确认各分段内部是否连续，例如分母为零、对数函数定义域等。
3. 计算左右极限：在分界点或可疑点处计算左右极限，判断是否存在极限及是否等于函数值。
4. 分类间断点类型：根据极限是否存在及是否相等，确定间断点类型。

破题关键点：

• x=0处：左右极限存在但不相等，属于跳跃间断点（第一类）。
• x=1处：右侧极限趋向无穷大，属于无穷间断点（第二类）。

可能的间断点

1. 分界点x=0：分段函数的分界处，需检查左右极限。
2. x=1：函数表达式中分母x-1在x=1处为零，可能导致极限不存在。

x=0处的分析

左极限（x→0⁻）

当x→0⁻时，f(x)=ln(1+x)，故：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \ln(1+0) = 0$

右极限（x→0⁺）

当x→0⁺时，f(x)=e^{1/(x-1)}，此时x-1→-1，故：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{1/(-1)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

函数值

f(0)=ln(1+0)=0。

结论：左极限=函数值，但右极限≠左极限，故x=0为跳跃间断点（第一类）。

x=1处的分析

左极限（x→1⁻）

当x→1⁻时，x-1→0⁻，故：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = e^{1/(0^-)} = e^{-\infty} = 0$

右极限（x→1⁺）

当x→1⁺时，x-1→0⁺，故：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = e^{1/(0^+)} = e^{+\infty} = +\infty$

结论：右极限趋向无穷大，故x=1为无穷间断点（第二类）。