题目
1-2 (原1.2题)-|||-试证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质,其物态方程可由实验测得-|||-的体胀系数α及等温压缩系数kr,根据下述积分求得:-|||-ln V=int (alpha dT-(k)_(T)dp) --|||-如果 alpha =dfrac (1)(T) _(r)=dfrac (1)(p) ,试求物态方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：物态方程的微分形式
以T和p为自变量，物质的物态方程为 $V=V(T,P)$，其全微分为 $dV={(\dfrac {\partial V}{\partial T})}^{dT}+(\dfrac {\partial V}{\partial \varphi })\quad d\quad $。将全微分除以V，得到 $\dfrac {dV}{V}=\dfrac {1}{V}{(\dfrac {dV}{dT})}^{d}+\dfrac {1}{V}(\dfrac {\partial V}{\partial p}),dp$。
步骤 2：引入体胀系数和等温压缩系数
根据体胀系数α和等温压缩系数kr的定义，可以将上式改写为 $\dfrac {dV}{V}=\alpha dT-{k}_{T}dP$。这表示物态方程的微分形式。
步骤 3：积分求解物态方程
对上式沿任意积分路线积分，得到 $\ln V=\int (\alpha dT-{k}_{T}dp)$。如果实验测得α和kr作为T、p的函数，由上式可得物质的物态方程。
步骤 4：具体计算物态方程
若 $\alpha =\dfrac {1}{T}$ 和 ${K}_{r}=\dfrac {1}{p}$，则式(3)可表示为 $\ln V=\int (\dfrac {1}{T}dT-\dfrac {1}{p}dp)$。选择积分路线，从(T0,p0)积分到(T,p0)，再积分到(T,p)，体积由V0最终变到V，有 $\ln \dfrac {V}{{V}_{0}}=\ln \dfrac {T}{{T}_{0}}-\ln \dfrac {P}{{P}_{0}}$。即 $\dfrac {pV}{T}=\dfrac {{P}_{0}{V}_{0}}{{T}_{0}}=C$ (常量)，或 $PV=CT$。
以T和p为自变量，物质的物态方程为 $V=V(T,P)$，其全微分为 $dV={(\dfrac {\partial V}{\partial T})}^{dT}+(\dfrac {\partial V}{\partial \varphi })\quad d\quad $。将全微分除以V，得到 $\dfrac {dV}{V}=\dfrac {1}{V}{(\dfrac {dV}{dT})}^{d}+\dfrac {1}{V}(\dfrac {\partial V}{\partial p}),dp$。
步骤 2：引入体胀系数和等温压缩系数
根据体胀系数α和等温压缩系数kr的定义，可以将上式改写为 $\dfrac {dV}{V}=\alpha dT-{k}_{T}dP$。这表示物态方程的微分形式。
步骤 3：积分求解物态方程
对上式沿任意积分路线积分，得到 $\ln V=\int (\alpha dT-{k}_{T}dp)$。如果实验测得α和kr作为T、p的函数，由上式可得物质的物态方程。
步骤 4：具体计算物态方程
若 $\alpha =\dfrac {1}{T}$ 和 ${K}_{r}=\dfrac {1}{p}$，则式(3)可表示为 $\ln V=\int (\dfrac {1}{T}dT-\dfrac {1}{p}dp)$。选择积分路线，从(T0,p0)积分到(T,p0)，再积分到(T,p)，体积由V0最终变到V，有 $\ln \dfrac {V}{{V}_{0}}=\ln \dfrac {T}{{T}_{0}}-\ln \dfrac {P}{{P}_{0}}$。即 $\dfrac {pV}{T}=\dfrac {{P}_{0}{V}_{0}}{{T}_{0}}=C$ (常量)，或 $PV=CT$。