题目
11.29一无限长的直导线和一正方形的线圈如图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求:-|||-线圈与导线间的互感系数.-|||-a-|||-a/3 2a-|||-习题11.29图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定长直导线的磁场
长直导线中通以电流I时，根据毕奥-萨伐尔定律，其磁场强度为
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\) 是真空磁导率，\(r\) 是到导线的距离。
步骤 2：计算互感磁通
互感磁通 \(\phi_{12}\) 是磁场通过正方形线圈的磁通量。由于线圈与导线接触处绝缘，我们只考虑线圈的两个边与导线平行的部分。线圈的边长为a，导线与线圈的两个边的距离分别为a/3和2a/3。因此，互感磁通为
\[ \phi_{12} = \int_{a/3}^{2a/3} B \cdot a \, dr = \int_{a/3}^{2a/3} \frac{\mu_0 I a}{2\pi r} \, dr \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{r} \, dr \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \left[ \ln r \right]_{a/3}^{2a/3} \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \left( \ln \frac{2a/3}{a/3} \right) \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln 2 \]
步骤 3：计算互感系数
互感系数 \(M\) 定义为互感磁通与电流I的比值，即
\[ M = \frac{\phi_{12}}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 2 \]
长直导线中通以电流I时，根据毕奥-萨伐尔定律，其磁场强度为
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\) 是真空磁导率，\(r\) 是到导线的距离。
步骤 2：计算互感磁通
互感磁通 \(\phi_{12}\) 是磁场通过正方形线圈的磁通量。由于线圈与导线接触处绝缘，我们只考虑线圈的两个边与导线平行的部分。线圈的边长为a，导线与线圈的两个边的距离分别为a/3和2a/3。因此，互感磁通为
\[ \phi_{12} = \int_{a/3}^{2a/3} B \cdot a \, dr = \int_{a/3}^{2a/3} \frac{\mu_0 I a}{2\pi r} \, dr \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{r} \, dr \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \left[ \ln r \right]_{a/3}^{2a/3} \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \left( \ln \frac{2a/3}{a/3} \right) \]
\[ \phi_{12} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln 2 \]
步骤 3：计算互感系数
互感系数 \(M\) 定义为互感磁通与电流I的比值，即
\[ M = \frac{\phi_{12}}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 2 \]