38[判断题，2分]e^x-1与x为等价无穷小量.（）bigcircA.正确bigcircB.错误

等价无穷小量的定义是：当$x \to 0$时，若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称$f(x)$与$g(x)$为等价无穷小量。本题需判断$e^x - 1$与$x$是否满足此条件。
关键思路：通过求极限验证比值是否为1，常用方法包括洛必达法则或泰勒展开。

方法一：洛必达法则

1. 验证极限形式：当$x \to 0$时，$e^x - 1 \to 0$，$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则。
2. 求导并计算：
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$
   极限为1，满足等价无穷小量的定义。

方法二：泰勒展开

将$e^x$展开为泰勒级数：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
因此：
$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \approx x \quad (\text{当 } x \to 0)$
低阶项$x$主导，高阶项可忽略，故$e^x - 1 \sim x$，即两者为等价无穷小量。