题目
已知单位向量的两个方向角为α=(3π)/(4)，β=(π)/(3)，则第三个方向角等于（ ）A. (π)/(3)B. (2π)/(3)C. (π)/(3)或(2π)/(3)D. (π)/(2)
已知单位向量的两个方向角为$α=\frac{3π}{4}$，$β=\frac{π}{3}$，则第三个方向角等于（ ）
A. $\frac{π}{3}$
B. $\frac{2π}{3}$
C. $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$
D. $\frac{π}{2}$
题目解答
答案
C. $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$
解析
步骤 1：确定方向角的性质
方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角。对于单位向量，其方向角的余弦值的平方和等于1，即cos^{2}α+cos^{2}β+cos^{2}γ=1，其中α、β、γ分别是向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角。
步骤 2：代入已知方向角
已知α=$\frac{3π}{4}$，β=$\frac{π}{3}$，代入cos^{2}α+cos^{2}β+cos^{2}γ=1，得到cos^{2}$\frac{3π}{4}$+cos^{2}$\frac{π}{3}$+cos^{2}γ=1。
步骤 3：计算cos^{2}γ
cos^{2}$\frac{3π}{4}$=cos^{2}135°=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^{2}=$\frac{1}{2}$，cos^{2}$\frac{π}{3}$=cos^{2}60°=（$\frac{1}{2}$）^{2}=$\frac{1}{4}$，代入得到$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+cos^{2}γ=1，解得cos^{2}γ=$\frac{1}{4}$。
步骤 4：求解γ
由cos^{2}γ=$\frac{1}{4}$，得到cosγ=±$\frac{1}{2}$，因此γ=$\frac{π}{3}$或γ=$\frac{2π}{3}$。
方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角。对于单位向量，其方向角的余弦值的平方和等于1，即cos^{2}α+cos^{2}β+cos^{2}γ=1，其中α、β、γ分别是向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角。
步骤 2：代入已知方向角
已知α=$\frac{3π}{4}$，β=$\frac{π}{3}$，代入cos^{2}α+cos^{2}β+cos^{2}γ=1，得到cos^{2}$\frac{3π}{4}$+cos^{2}$\frac{π}{3}$+cos^{2}γ=1。
步骤 3：计算cos^{2}γ
cos^{2}$\frac{3π}{4}$=cos^{2}135°=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^{2}=$\frac{1}{2}$，cos^{2}$\frac{π}{3}$=cos^{2}60°=（$\frac{1}{2}$）^{2}=$\frac{1}{4}$，代入得到$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+cos^{2}γ=1，解得cos^{2}γ=$\frac{1}{4}$。
步骤 4：求解γ
由cos^{2}γ=$\frac{1}{4}$，得到cosγ=±$\frac{1}{2}$，因此γ=$\frac{π}{3}$或γ=$\frac{2π}{3}$。