题目
一圆盘,其质量M/4均匀分布在盘的边缘上,圆盘半径为R。一轻绳跨过圆盘,一端系质量为M/2的物体,另一端有一质量为M的人抓住绳子,当人相对于绳匀速上爬时,求物体运动的加速度。
一圆盘,其质量M/4均匀分布在盘的边缘上,圆盘半径为R。一轻绳跨过圆盘,一端系质量为
M/2的物体,另一端有一质量为M的人抓住绳子,当人相对于绳匀速上爬时,求物体运动的加速度。
题目解答
答案
解:分别取圆盘、物体和人为研究对象,受力分析如图,
对物体 
①
对圆盘 
②
对人 
③
(或取绳为参照系,惯性力
向上,故
)
又 
④
⑤
解得 
解析
步骤 1：受力分析
对物体、圆盘和人进行受力分析。物体受到重力和绳子的拉力${T}_{1}$，圆盘受到绳子的拉力${T}_{1}$和${T}_{2}$，人受到重力和绳子的拉力${T}_{2}$。由于人相对于绳匀速上爬，所以人相对于绳的加速度为零，但相对于地面的加速度为$a$。
步骤 2：建立动力学方程
对物体，根据牛顿第二定律，有：
${T}_{1} - \frac{M}{2}g = \frac{M}{2}a$ ①
对圆盘，根据转动定律，有：
$({T}_{2} - {T}_{1})R = \frac{1}{2} \frac{M}{4} R^2 \frac{a}{R}$ ②
对人，根据牛顿第二定律，有：
${T}_{2} - Mg = Ma$ ③
步骤 3：求解加速度
将方程①、②、③联立求解，得到物体的加速度$a$。
由①式得：${T}_{1} = \frac{M}{2}g + \frac{M}{2}a$ ④
由③式得：${T}_{2} = Mg + Ma$ ⑤
将④、⑤代入②式得：
$(Mg + Ma - \frac{M}{2}g - \frac{M}{2}a)R = \frac{1}{2} \frac{M}{4} R^2 \frac{a}{R}$
化简得：
$\frac{1}{2} Mg + \frac{1}{2} Ma = \frac{1}{8} MaR$
解得：
$a = \frac{4g}{3}$
对物体、圆盘和人进行受力分析。物体受到重力和绳子的拉力${T}_{1}$，圆盘受到绳子的拉力${T}_{1}$和${T}_{2}$，人受到重力和绳子的拉力${T}_{2}$。由于人相对于绳匀速上爬，所以人相对于绳的加速度为零，但相对于地面的加速度为$a$。
步骤 2：建立动力学方程
对物体，根据牛顿第二定律，有：
${T}_{1} - \frac{M}{2}g = \frac{M}{2}a$ ①
对圆盘，根据转动定律，有：
$({T}_{2} - {T}_{1})R = \frac{1}{2} \frac{M}{4} R^2 \frac{a}{R}$ ②
对人，根据牛顿第二定律，有：
${T}_{2} - Mg = Ma$ ③
步骤 3：求解加速度
将方程①、②、③联立求解，得到物体的加速度$a$。
由①式得：${T}_{1} = \frac{M}{2}g + \frac{M}{2}a$ ④
由③式得：${T}_{2} = Mg + Ma$ ⑤
将④、⑤代入②式得：
$(Mg + Ma - \frac{M}{2}g - \frac{M}{2}a)R = \frac{1}{2} \frac{M}{4} R^2 \frac{a}{R}$
化简得：
$\frac{1}{2} Mg + \frac{1}{2} Ma = \frac{1}{8} MaR$
解得：
$a = \frac{4g}{3}$