【例7】(2021,数一,数二,数三)函数f(x)={(e^x-1)/(x), & x neq 0, 1, & x=0.在x=0处 (A.)连续且取极大值. (B.)连续且取极小值. (C.)可导且导数为0. (D.)可导且导数不为0.

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断，涉及极限计算、导数定义及洛必达法则的应用。

解题思路：

1. 连续性：验证当$x \to 0$时，函数的极限值是否等于$f(0)$。
2. 可导性：利用导数定义计算$f'(0)$，判断导数是否存在且是否为0。

破题关键：

• 连续性：通过等价无穷小或洛必达法则求极限。
• 可导性：正确应用导数定义，分步使用洛必达法则化简极限。

1. 连续性判断

当$x \to 0$时，计算$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$：

• 方法一：利用等价无穷小，当$x \to 0$时，$e^x - 1 \sim x$，因此：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f(0)$
• 方法二：洛必达法则：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$
  结论：函数在$x=0$处连续。

2. 可导性判断

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

• 第一次洛必达法则（分子分母均为0型）：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$
• 第二次洛必达法则（仍为0型）：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$
  结论：导数存在且$f'(0) = \frac{1}{2} \neq 0$。