题目
int (tan )^4xdx;
;
题目解答
答案
.
解析
步骤 1：将 $\tan^4 x$ 表达式转换为 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式
$\tan^4 x = \dfrac{\sin^4 x}{\cos^4 x}$，因此原积分可以写为 $\int \dfrac{\sin^4 x}{\cos^4 x} dx$。
步骤 2：利用三角恒等式简化积分
注意到 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，我们可以将 $\sin^4 x$ 写为 $(1 - \cos^2 x)^2$，从而得到 $\int \dfrac{(1 - \cos^2 x)^2}{\cos^4 x} dx$。
步骤 3：展开并简化
展开分子得到 $\int \dfrac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{\cos^4 x} dx = \int \left(\dfrac{1}{\cos^4 x} - \dfrac{2}{\cos^2 x} + 1\right) dx$。
步骤 4：分项积分
将积分分为三部分：$\int \sec^4 x dx - 2\int \sec^2 x dx + \int dx$。
步骤 5：计算每个积分
- 对于 $\int \sec^4 x dx$，可以使用 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$，得到 $\int (1 + \tan^2 x)^2 d(\tan x)$，进一步展开并积分。
- 对于 $\int \sec^2 x dx$，直接积分得到 $\tan x$。
- 对于 $\int dx$，直接积分得到 $x$。
步骤 6：合并结果
将每个部分的结果合并，得到最终答案。
$\tan^4 x = \dfrac{\sin^4 x}{\cos^4 x}$，因此原积分可以写为 $\int \dfrac{\sin^4 x}{\cos^4 x} dx$。
步骤 2：利用三角恒等式简化积分
注意到 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，我们可以将 $\sin^4 x$ 写为 $(1 - \cos^2 x)^2$，从而得到 $\int \dfrac{(1 - \cos^2 x)^2}{\cos^4 x} dx$。
步骤 3：展开并简化
展开分子得到 $\int \dfrac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{\cos^4 x} dx = \int \left(\dfrac{1}{\cos^4 x} - \dfrac{2}{\cos^2 x} + 1\right) dx$。
步骤 4：分项积分
将积分分为三部分：$\int \sec^4 x dx - 2\int \sec^2 x dx + \int dx$。
步骤 5：计算每个积分
- 对于 $\int \sec^4 x dx$，可以使用 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$，得到 $\int (1 + \tan^2 x)^2 d(\tan x)$，进一步展开并积分。
- 对于 $\int \sec^2 x dx$，直接积分得到 $\tan x$。
- 对于 $\int dx$，直接积分得到 $x$。
步骤 6：合并结果
将每个部分的结果合并，得到最终答案。