) lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-sqrt ({x)^2-x});

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是处理根号相减的极限问题。关键在于通过有理化消除不定型，再结合代数化简和极限性质求解。

解题思路：

1. 有理化：将表达式乘以共轭，将分子转化为多项式，分母转化为根号和的形式。
2. 化简分母：将根号中的表达式分解出$x^2$，利用$x \to +\infty$时的近似展开。
3. 极限运算：代入$x \to +\infty$时$\frac{1}{x} \to 0$，简化表达式求得结果。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right)$
将分子和分母同时乘以共轭$\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}$：
$\begin{aligned}\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} &= \frac{ (\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}) }{ \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} } \\&= \frac{(x^2 + x) - (x^2 - x)}{ \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} } \\&= \frac{2x}{ \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} }\end{aligned}$

步骤2：化简分母
将分母中的根号分解出$x^2$：
$\sqrt{x^2 + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, \quad \sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$
因此分母可表示为：
$x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)$
代入原式得：
$\frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)} = \frac{2}{ \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} }$

步骤3：求极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，故：
$\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1, \quad \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \to 1$
因此极限值为：
$\frac{2}{1 + 1} = 1$