1.[判断题] 判断：设sin y+int_(0)^x^(2)cos tdt=e^y，则(dy)/(dx)=(2xcos x^2)/(cos y-e^y).（）A. 对B. 错

本题主要考察隐函数求导及变上限积分的求导法则。

步骤1：对等式两边同时求导

给定方程 $\sin y + \int_{0}^{x^2} \cos t dt = e^y$，等式两边对 $x$ 求导：

• 左边第一项 $\sin y$ 对 $x$ 求导：根据复合函数求导法则，得 $\cos y \cdot \frac{dy}{dx}$；
• 左边第二项 $\int_{0}^{x^2} \cos t dt$ 对 $x$ 求导：根据变上限积分求导法则，先对上限 $x^2$ 求导得 $2x$，再乘以被积函数在 $x^2$ 处的值 $\cos x^2$，故结果为 $2x \cos x^2$；
• 右边 $e^y$ 对 $x$ 求导：根据复合函数求导法则，得 $e^y \cdot \frac{dy}{dx}$。

步骤2：整理求导结果

将求导后的各项代入等式：
$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} + 2x \cos x^2 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$
移项合并含 $\frac{dy}{dx}$ 的项：
$2x \cos x^2 = e^y \cdot \frac{dy}{dx} - \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$
提取公因式 $\frac{dy}{dx}$：
$2x \cos x^2 = (e^y - \cos y) \cdot \frac{dy}{dx}$

步骤3：求解 $\frac{dy}{dx}$

两边同除以 $e^y - \cos y$，得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x \cos x^2}{e^y - \cos y}$

步骤4：对比题目结论

题目给出的结论是 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x \cos x^2}{\cos y - e^y}$，与正确结果 $\frac{2x \cos x^2}{e^y - \cos y}$ 符号相反，故题目错误。