题目
已知函数F(x)=int_((pi)/(2))^x(sin t)/(t)dt，则一阶导数值F'((pi)/(2))=（ ）A. (2)/(pi)B. (3)/(pi)C. (2)/(3pi)D. (1)/(pi)
已知函数$F(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{\sin t}{t}dt$，则一阶导数值$F'(\frac{\pi}{2})=$（ ） A. $\frac{2}{\pi}$ B. $\frac{3}{\pi}$ C. $\frac{2}{3\pi}$ D. $\frac{1}{\pi}$
题目解答
答案
我们来一步一步地分析并解答这个题目。
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### **题目回顾**
已知函数：
$$
F(x) = \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt
$$
要求计算：
$$
F'\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$
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### **解题思路**
这是一个关于**变限积分函数的导数**的问题。
我们回忆一下**微积分基本定理**中关于变限积分导数的公式：
> 如果函数 $ f(t) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，那么函数
> $$
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt
$$
> 在 $[a, b]$ 上可导，且
> $$
F'(x) = f(x)
$$
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### **应用定理**
在本题中，函数是：
$$
F(x) = \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt
$$
这里的被积函数是：
$$
f(t) = \frac{\sin t}{t}
$$
注意：虽然 $ \frac{\sin t}{t} $ 在 $ t = 0 $ 处无定义，但在 $ t = \frac{\pi}{2} $ 处是连续的，所以我们可以应用微积分基本定理。
根据定理，有：
$$
F'(x) = \frac{\sin x}{x}
$$
因此：
$$
F'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}
$$
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### **最终答案**
$$
\boxed{A. \frac{2}{\pi}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查变上限积分函数的求导法则，即微积分基本定理的应用。
解题核心思路：
根据变上限积分的求导公式，若函数$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$，则其导数为$F'(x) = f(x)$。本题中被积函数为$\frac{\sin t}{t}$，直接代入求导公式即可。
破题关键点：
- 确认被积函数在积分上限处连续：虽然$\frac{\sin t}{t}$在$t=0$处无定义，但题目中积分下限为$\frac{\pi}{2}$，因此在区间$[\frac{\pi}{2}, x]$内被积函数连续，满足定理条件。
- 直接应用求导公式：无需计算积分本身，只需将被积函数中的变量替换为$x$，再代入$x = \frac{\pi}{2}$。
根据变上限积分的求导法则：
$F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\sin x}{x}.$
将$x = \frac{\pi}{2}$代入得：
$F'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}.$
因此，正确答案为A选项。