题目
例9 若 g(x)在 (-infty ,+infty ) 内恒有 (x+y)=g(x)+g(y), 对任意x,y都成立.-|||-试判定 (x)=g(x)sin x 的奇偶性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定g(x)的性质
由题意知，g(x+y)=g(x)+g(y) 对任意x,y都成立。取y=0，得到g(x)=g(x)+g(0)，从而g(0)=0。再令y=-x，得到g(0)=g(x)+g(-x)，即g(-x)=-g(x)，因此g(x)是奇函数。
步骤 2：确定sin(x)的性质
sin(x)是标准的奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
步骤 3：确定f(x)的性质
由于f(x)=g(x)sin(x)，其中g(x)和sin(x)都是奇函数，奇函数乘以奇函数得到偶函数。因此，f(x)是偶函数。
由题意知，g(x+y)=g(x)+g(y) 对任意x,y都成立。取y=0，得到g(x)=g(x)+g(0)，从而g(0)=0。再令y=-x，得到g(0)=g(x)+g(-x)，即g(-x)=-g(x)，因此g(x)是奇函数。
步骤 2：确定sin(x)的性质
sin(x)是标准的奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
步骤 3：确定f(x)的性质
由于f(x)=g(x)sin(x)，其中g(x)和sin(x)都是奇函数，奇函数乘以奇函数得到偶函数。因此，f(x)是偶函数。