设 e^-x是 f(x)的一个原函数，则 int xf(x)dx = () A. e^-x(x+1)+c B. -e^-x(x+1)+c C. e^-x(1-x)+c D. e^-x(x-1)+c

考查要点：本题主要考查原函数的概念、分部积分法的应用，以及积分结果的化简能力。

解题核心思路：

1. 确定被积函数：根据原函数的定义，由已知条件求出$f(x)$的表达式。
2. 选择积分方法：观察积分形式$\int x f(x) dx$，选择分部积分法。
3. 符号处理：注意积分过程中负号的运算，避免符号错误。

破题关键点：

• 原函数与导数的关系：若$e^{-x}$是$f(x)$的原函数，则$f(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$。
• 分部积分法的正确应用：合理选择$u$和$dv$，并正确处理符号。

步骤1：确定$f(x)$的表达式
已知$e^{-x}$是$f(x)$的原函数，即：
$\frac{d}{dx} e^{-x} = f(x)$
对$e^{-x}$求导得：
$f(x) = -e^{-x}$

步骤2：代入积分表达式
原积分变为：
$\int x f(x) dx = \int x \cdot (-e^{-x}) dx = -\int x e^{-x} dx$

步骤3：应用分部积分法
设：
$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \\ dv = e^{-x} dx \quad \Rightarrow \quad v = -e^{-x}$
根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$：
$\begin{aligned}-\int x e^{-x} dx &= -\left[ x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx \right] \\&= -\left[ -x e^{-x} + \int e^{-x} dx \right] \\&= -\left[ -x e^{-x} - e^{-x} \right] + C \quad \text{（$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$）} \\&= x e^{-x} + e^{-x} + C\end{aligned}$

步骤4：化简结果
提取公因子$e^{-x}$：
$\int x f(x) dx = e^{-x}(x + 1) + C$