判断题（共5题，10.0分）27. (2.0分) 【判断题】设积分曲面Σ是平面xoy上直线x+y=1、X轴和Y轴所围成的平面区域，则iintlimits_(Sigma)xy^2dydz+sin xcos ydxdz+(e^x+yz)dxdy=0.A 对B 错

为了判断给定的曲面积分是否为零，我们需要分析曲面Σ和被积函数。曲面Σ是平面 $z = 0$ 上由直线 $x + y = 1$、$x$-轴和 $y$-轴所围成的区域。这意味着Σ是一个二维区域，位于 $xy$-平面上，且 $z = 0$ 在这个区域上。 给定的曲面积分是： \[ \iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dy \, dz + \sin x \cos y \, dx \, dz + (e^x + yz) \, dx \, dy. \] 由于Σ位于 $xy$-平面上，$z = 0$ 在这个曲面上，因此 $dz = 0$。这意味着涉及 $dy \, dz$ 和 $dx \, dz$ 的项将为零： \[ \iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dy \, dz = 0 \quad \text{和} \quad \iint\limits_{\Sigma} \sin x \cos y \, dx \, dz = 0. \] 曲面积分简化为： \[ \iint\limits_{\Sigma} (e^x + yz) \, dx \, dy. \] 由于 $z = 0$ 在曲面Σ上，项 $yz$ 为零： \[ \iint\limits_{\Sigma} (e^x + yz) \, dx \, dy = \iint\limits_{\Sigma} e^x \, dx \, dy. \] 现在，我们需要在区域Σ上计算 $e^x \, dx \, dy$ 的二重积分，该区域由直线 $x + y = 1$、$x$-轴和 $y$-轴所围成。这个区域可以描述为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1 - x$。因此，二重积分变为： \[ \iint\limits_{\Sigma} e^x \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^{1-x} e^x \, dy \, dx. \] 我们首先对 $y$ 进行积分： \[ \int_0^{1-x} e^x \, dy = e^x \left[ y \right]_0^{1-x} = e^x (1-x). \] 接下来，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_0^1 e^x (1-x) \, dx = \int_0^1 e^x \, dx - \int_0^1 x e^x \, dx. \] 第一个积分很简单： \[ \int_0^1 e^x \, dx = e^x \bigg|_0^1 = e - 1. \] 对于第二个积分，我们使用分部积分法，设 $u = x$ 和 $dv = e^x \, dx$，因此 $du = dx$ 和 $v = e^x$： \[ \int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - (e - 1) = 1. \] 将所有部分放在一起，我们得到： \[ \int_0^1 e^x (1-x) \, dx = (e - 1) - 1 = e - 2. \] 由于 $e - 2 \neq 0$，曲面积分不为零。因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]