3.设A,B为两事件,已知 (A)=dfrac (1)(3) . (A|B)=dfrac (2)(3) . (B|overline (A))=dfrac (1)(10), 求P(B).

考查要点：本题主要考查条件概率的定义及全概率公式的应用，需要学生理解事件间的关系并建立方程求解。

解题核心思路：

1. 分解事件：将事件$B$分解为与$A$相关的部分$B \cap A$和与$\overline{A}$相关的部分$B \cap \overline{A}$。
2. 利用条件概率公式：通过已知的条件概率$P(A|B)$和$P(B|\overline{A})$，分别表示出$P(B \cap A)$和$P(B \cap \overline{A})$。
3. 全概率公式：将$P(B)$表示为两部分概率之和，建立方程求解。

破题关键点：

• 正确应用条件概率公式，将未知量用$P(B)$表示。
• 建立方程时注意代数运算的准确性。

步骤1：分解事件$B$
根据全概率公式，事件$B$可分解为：
$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A})$

步骤2：计算$P(B \cap A)$
由条件概率公式$P(A|B) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(B)}$，得：
$P(B \cap A) = P(A|B) \cdot P(B) = \dfrac{2}{3} P(B)$

步骤3：计算$P(B \cap \overline{A})$
由条件概率公式$P(B|\overline{A}) = \dfrac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$，得：
$P(B \cap \overline{A}) = P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = \dfrac{1}{10} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{15}$

步骤4：建立方程求解$P(B)$
将步骤2和步骤3的结果代入全概率公式：
$P(B) = \dfrac{2}{3} P(B) + \dfrac{1}{15}$
整理方程：
$P(B) - \dfrac{2}{3} P(B) = \dfrac{1}{15} \implies \dfrac{1}{3} P(B) = \dfrac{1}{15} \implies P(B) = \dfrac{1}{5}$