题目
关于正项级数sum_(n=1)^infty(1)/(n^1+frac(1){n)}收敛性的判定，下列哪种解法是正确的?（）A 将sum_(n=1)^infty(1)/(n^1+frac(1){n)}看作p-级数sum_(n=1)^infty(1)/(n^p)，由于p=1+(1)/(n)>1，故sum_(n=1)^infty(1)/(n^1+frac(1){n)}收敛.B 由于lim_(ntoinfty)(1)/(n^1+frac(1){n)}/(1)/(n)=lim_(ntoinfty)(1)/(n^1)=1，所以sum_(n=1)^infty(1)/(n^1+frac(1){n)}发散.
关于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$收敛性的判定，下列哪种解法是正确的?（）
A 将$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$看作p-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$，由于$p=1+\frac{1}{n}>1$，故$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$收敛.
B 由于$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}/\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1}}=1$，所以$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$发散.
题目解答
答案
解法A错误，因为 $p=1+\frac{1}{n}$ 非常数，无法直接应用 $p$-级数收敛条件。
解法B正确，利用极限比较判别法：
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} = 1,
\]
与调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$（发散）比较，知原级数发散。
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：分析解法A
解法A试图将级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$看作$p$-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$，其中$p=1+\frac{1}{n}$。然而，$p$-级数的收敛性要求$p$为常数，而在这里$p$随$n$变化，因此不能直接应用$p$-级数的收敛条件。因此，解法A是错误的。
步骤 2：分析解法B
解法B使用极限比较判别法来判断级数的收敛性。首先计算极限： \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} = 1. \] 由于这个极限等于1，且与调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$（已知发散）比较，根据极限比较判别法，原级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$也发散。
解法A试图将级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$看作$p$-级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$，其中$p=1+\frac{1}{n}$。然而，$p$-级数的收敛性要求$p$为常数，而在这里$p$随$n$变化，因此不能直接应用$p$-级数的收敛条件。因此，解法A是错误的。
步骤 2：分析解法B
解法B使用极限比较判别法来判断级数的收敛性。首先计算极限： \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} = 1. \] 由于这个极限等于1，且与调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$（已知发散）比较，根据极限比较判别法，原级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$也发散。