设单增光滑曲线y=y(x)位于第一象限，当x gt 0时，在区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体积值曲线V(x)与该曲边梯形的面积值S(x)之比为dfrac(3)(5)pi y(x)，且曲线y=y(x)过点(1,1)，求曲线y=y(x)的方程.

依题意，$S\left(x\right)=\int_{0}^{x}y\mathrm{d}x$，$V\left(x\right)=\pi \int_{0}^{x}y^{2}\mathrm{d}x$

而$V\left(x\right)$与$S\left(x\right)$之比为$\dfrac{3}{5}\pi y\left(x\right)$，即：

$\pi \int_{0}^{x}y^{2}\mathrm{d}x=\dfrac{3}{5}\pi y\int_{0}^{x}y\mathrm{d}x$

$\therefore $两边对$x$求导，得

$\pi y^{2}=\dfrac{3}{5}\pi \left(y'\int_{0}^{x}y\mathrm{d}x+y^{2}\right)$

由于$y'$显然不等于$0$，因此

$\dfrac{2}{3}\dfrac{y^{2}}{y'}=\int_{0}^{x}y\mathrm{d}x$

两边继续对$x$求导，得

$\dfrac{2}{3}\dfrac{2y\left(y'\right)^{2}-y^{2}y$″}{\left(y'\right)^{2}}=y$

化简得

$2yy$″$=\left(y'\right)^{2}$

令$y'=p$

则$2y\dfrac{dp}{dy}=p$

解得：$p=C_{1}\sqrt{y}$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=C_{1}\sqrt{y}$

$\therefore \sqrt{y}=C_{2}x+C_{3}$

又曲线通过$\left(1,1\right)$

$\therefore C_{2}=1-C_{3}$

$\therefore \sqrt{y}=Cx+\left(1-C\right)$

由于$y \gt 0$，且单增

$\therefore 0 \lt C \lt 1$