[题目]随机变量X服从参数为λ的泊松分布,-|||-且 [ (X-1)(X-2)] =1 ,则 lambda =??

考查要点：本题主要考查泊松分布的性质、期望的计算以及方差与期望的关系。
解题核心思路：将给定的期望表达式展开，利用泊松分布的期望和方差均为参数λ的性质，结合方差公式求解。
破题关键点：

1. 展开表达式：将$(X-1)(X-2)$展开为$X^2 - 3X + 2$，利用线性性质拆分期望。
2. 利用方差公式：通过$E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2$将问题转化为关于λ的方程。
3. 解二次方程：根据等式$E[(X-1)(X-2)] = 1$建立方程并求解λ。

1. 展开表达式
   将$(X-1)(X-2)$展开：
   $(X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2$
   因此，原期望可分解为：
   $E[(X-1)(X-2)] = E[X^2] - 3E[X] + E[2]$

2. 代入泊松分布性质

   • 泊松分布的期望$E[X] = \lambda$，方差$\text{Var}(X) = \lambda$。
   • 根据方差公式：
     $E[X^2] = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \lambda + \lambda^2$
   • $E[2] = 2$（常数的期望等于其本身）。

3. 代入并化简
   将上述结果代入原式：
   $\begin{aligned} E[(X-1)(X-2)] &= (\lambda + \lambda^2) - 3\lambda + 2 \\ &= \lambda^2 - 2\lambda + 2 \end{aligned}$
   根据题意，$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1$，整理得：
   $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$

4. 解方程
   方程可分解为：
   $(\lambda - 1)^2 = 0$
   解得$\lambda = 1$。
   验证：$\lambda > 0$，符合泊松分布参数条件。