要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？

步骤 1：确定圆柱体的体积和表面积公式
圆柱体的体积公式为：\[V = \pi r^2 h\]，其中 \(r\) 是底面半径，\(h\) 是高。
圆柱体的表面积公式为：\[A = 2\pi r^2 + 2\pi rh\]，其中 \(2\pi r^2\) 是两个底面的面积，\(2\pi rh\) 是侧面的面积。

步骤 2：用体积公式表示高h
由于体积 \(V\) 是已知的，我们可以用体积公式表示高 \(h\)：\[h = \frac{V}{\pi r^2}\]。

步骤 3：将高h的表达式代入表面积公式
将 \(h = \frac{V}{\pi r^2}\) 代入表面积公式 \(A = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)，得到：\[A = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\]。

步骤 4：求导数并找到极值点
为了使表面积最小，我们需要对 \(A\) 关于 \(r\) 求导，并找到导数为0的点。对 \(A\) 求导得到：\[A' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}\]。
令 \(A' = 0\)，解得：\[4\pi r = \frac{2V}{r^2}\]，即：\[2\pi r^3 = V\]，从而得到：\[r^3 = \frac{V}{2\pi}\]，因此：\[r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\]。

步骤 5：计算高h
将 \(r = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\) 代入 \(h = \frac{V}{\pi r^2}\) 中，得到：\[h = \frac{V}{\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{2\pi}{V}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \frac{(2\pi)^{\frac{2}{3}}}{V^{\frac{2}{3}}} = \frac{V^{\frac{1}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}} \cdot (2\pi)^{\frac{2}{3}} = 2\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\]。
因此，\(h = 2r\)。