题目
求平面x-y+2z-6=0与平面2x+y+z-5=0的夹角。
求平面x-y+2z-6=0与平面2x+y+z-5=0的夹角。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面法向量
平面x-y+2z-6=0的法向量为$\vec{n_1}=(1,-1,2)$，平面2x+y+z-5=0的法向量为$\vec{n_2}=(2,1,1)$。
步骤 2：计算法向量的点积
$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times2+(-1)\times1+2\times1=2-1+2=3$。
步骤 3：计算法向量的模
$|\vec{n_1}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}$，$|\vec{n_2}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$。
步骤 4：计算夹角的余弦值
$\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
步骤 5：计算夹角
$\theta=\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$。
平面x-y+2z-6=0的法向量为$\vec{n_1}=(1,-1,2)$，平面2x+y+z-5=0的法向量为$\vec{n_2}=(2,1,1)$。
步骤 2：计算法向量的点积
$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times2+(-1)\times1+2\times1=2-1+2=3$。
步骤 3：计算法向量的模
$|\vec{n_1}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}$，$|\vec{n_2}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$。
步骤 4：计算夹角的余弦值
$\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
步骤 5：计算夹角
$\theta=\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$。