题目
1.当 =dfrac (1+i)(1-i) 时, ^100+(z)^75+(z)^50 的值等于[ ].-|||-A.i;B. -i; C.1;D. -1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简复数 $z$
首先，我们需要化简复数 $z=\dfrac {1+i}{1-i}$。为了去除分母中的虚部，我们可以乘以共轭复数，即乘以 $\dfrac{1+i}{1+i}$。
$$z=\dfrac {1+i}{1-i} \cdot \dfrac{1+i}{1+i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \dfrac{1+2i-1}{1+1} = \dfrac{2i}{2} = i$$
步骤 2：计算 $z^{100}$, $z^{75}$, $z^{50}$
由于 $z=i$，我们有：
$$z^{100} = i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1$$
$$z^{75} = i^{75} = (i^4)^{18} \cdot i^3 = 1^{18} \cdot (-i) = -i$$
$$z^{50} = i^{50} = (i^4)^{12} \cdot i^2 = 1^{12} \cdot (-1) = -1$$
步骤 3：计算 $z^{100}+z^{75}+z^{50}$
将上述结果相加，我们得到：
$$z^{100}+z^{75}+z^{50} = 1 + (-i) + (-1) = -i$$
首先，我们需要化简复数 $z=\dfrac {1+i}{1-i}$。为了去除分母中的虚部，我们可以乘以共轭复数，即乘以 $\dfrac{1+i}{1+i}$。
$$z=\dfrac {1+i}{1-i} \cdot \dfrac{1+i}{1+i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \dfrac{1+2i-1}{1+1} = \dfrac{2i}{2} = i$$
步骤 2：计算 $z^{100}$, $z^{75}$, $z^{50}$
由于 $z=i$，我们有：
$$z^{100} = i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1$$
$$z^{75} = i^{75} = (i^4)^{18} \cdot i^3 = 1^{18} \cdot (-i) = -i$$
$$z^{50} = i^{50} = (i^4)^{12} \cdot i^2 = 1^{12} \cdot (-1) = -1$$
步骤 3：计算 $z^{100}+z^{75}+z^{50}$
将上述结果相加，我们得到：
$$z^{100}+z^{75}+z^{50} = 1 + (-i) + (-1) = -i$$