题目

设A,B,C两两相互独立，满足=,=,且已知=,则==_____.

设$$A,B,C$$两两相互独立，满足,,且已知,则$$=$$_____.

题目解答

答案

$$\frac{1}{4}$$

解析

考查要点：本题主要考查概率的容斥原理和独立事件的性质，需要结合题目条件建立方程求解。

解题核心思路：

  1. 利用两两独立的条件，将两两交集的概率转化为各自概率的乘积；
  2. 根据ABC=∅，确定三个事件不能同时发生，即$P(ABC)=0$；
  3. 应用容斥原理展开$P(A \cup B \cup C)$，代入已知条件建立方程；
  4. 解方程并结合$p < \dfrac{1}{2}$筛选合理解。

破题关键点：

  • 正确应用容斥原理公式，注意排除重复计算的部分；
  • 利用独立性简化交集概率，避免复杂计算；
  • 二次方程的求解与条件筛选，确保答案符合题意。

设$P(A)=P(B)=P(C)=p$，根据题意：

  1. 容斥原理展开：
    $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

  2. 代入独立性和条件：

    • 两两独立：$P(AB)=P(A)P(B)=p^2$，同理$P(AC)=p^2$，$P(BC)=p^2$；
    • $ABC=\varnothing$，故$P(ABC)=0$；
    • 代入公式得：
      $\frac{9}{16} = 3p - 3p^2$

  3. 建立方程并求解：
    $3p - 3p^2 = \frac{9}{16} \implies p - p^2 = \frac{3}{16} \implies p^2 - p + \frac{3}{16} = 0$
    解得：
    $p = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{1}{4}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{1}{2}}{2}$
    即$p = \dfrac{3}{4}$或$p = \dfrac{1}{4}$。因$p < \dfrac{1}{2}$，故$p = \dfrac{1}{4}$。