题目
四阶方阵A满足|3E+A|=0且|3E+A|=0 ，已知其行列式值为负，则其伴随矩阵|3E+A|=0必有一个特征值为_____。A. |3E+A|=0B. |3E+A|=0C. 0D. |3E+A|=0
四阶方阵A满足
且
，已知其行列式值为负，则其伴随矩阵
必有一个特征值为_____。
A. 
B. 
C. 0
D. 
题目解答
答案
解析：
四阶矩阵A满足，则
，根据特征值的定义可得矩阵A的一个特征值
；
由可知， 
，已知其行列式值为负，则可以计算得
；
所以伴随矩阵的一个特征值为
。
故答案选B。
解析
步骤 1：确定矩阵A的一个特征值
四阶矩阵A满足|3E+A|=0，根据行列式的性质，可以将行列式写为|(-1)(-3E-A)|，即|(-1)(-3E-A)|=|(-3E-A)|=0。根据特征值的定义，矩阵A的一个特征值$\lambda =-3$。
步骤 2：计算矩阵A的行列式值
由${AA}^{r}=2E$可知，|A|| $|{A}^{T}|=|A||A|={2}^{4}=16$。已知其行列式值为负，所以|A|=-4。
步骤 3：计算伴随矩阵${A}^{*}$的一个特征值
伴随矩阵${A}^{*}$的一个特征值为$\dfrac {|A|}{\lambda }=\dfrac {-4}{-3}=\dfrac {4}{3}$。
四阶矩阵A满足|3E+A|=0，根据行列式的性质，可以将行列式写为|(-1)(-3E-A)|，即|(-1)(-3E-A)|=|(-3E-A)|=0。根据特征值的定义，矩阵A的一个特征值$\lambda =-3$。
步骤 2：计算矩阵A的行列式值
由${AA}^{r}=2E$可知，|A|| $|{A}^{T}|=|A||A|={2}^{4}=16$。已知其行列式值为负，所以|A|=-4。
步骤 3：计算伴随矩阵${A}^{*}$的一个特征值
伴随矩阵${A}^{*}$的一个特征值为$\dfrac {|A|}{\lambda }=\dfrac {-4}{-3}=\dfrac {4}{3}$。