题目
4.设 _(1)=(1,0,1), _(2)=(0,1,0), _(3)=(0,0,1). 向量 beta =(-1,,-|||--1,0) 可表示为α1,α2,α3的线性组合: beta =a({a)_(1)}+b(a)_(2)+(c)_(3), 则[ ].-|||-(A) a=-1 =-1 =-1 (B) =1, b=-1 =-1-|||-(C) a=-1 ,b=1, c=-1 (D) a=-1 =-1 ,c=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定线性组合的系数
向量 $\beta = (-1, -1, 0)$ 可以表示为 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 的线性组合，即 $\beta = a{a}_{1} + b{a}_{2} + c{a}_{3}$。将 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 的坐标代入，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a + 0 + 0 = -1 \\
0 + b + 0 = -1 \\
a + 0 + c = 0
\end{cases}
$$
步骤 2：解方程组
从第一个方程得到 $a = -1$，从第二个方程得到 $b = -1$，将 $a = -1$ 代入第三个方程得到 $-1 + c = 0$，从而得到 $c = 1$。
步骤 3：验证结果
将 $a = -1$, $b = -1$, $c = 1$ 代入线性组合，得到 $\beta = -1(1,0,1) -1(0,1,0) + 1(0,0,1) = (-1, -1, 0)$，与题目给定的 $\beta$ 相符。
向量 $\beta = (-1, -1, 0)$ 可以表示为 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 的线性组合，即 $\beta = a{a}_{1} + b{a}_{2} + c{a}_{3}$。将 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$ 的坐标代入，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a + 0 + 0 = -1 \\
0 + b + 0 = -1 \\
a + 0 + c = 0
\end{cases}
$$
步骤 2：解方程组
从第一个方程得到 $a = -1$，从第二个方程得到 $b = -1$，将 $a = -1$ 代入第三个方程得到 $-1 + c = 0$，从而得到 $c = 1$。
步骤 3：验证结果
将 $a = -1$, $b = -1$, $c = 1$ 代入线性组合，得到 $\beta = -1(1,0,1) -1(0,1,0) + 1(0,0,1) = (-1, -1, 0)$，与题目给定的 $\beta$ 相符。