题目
15-34 设一个电子在宽为0.20nm的一维无限深方势阱中.(1)计算该电-|||-子在最低能级的能量;(2)当电子处于第一激发态时,在势阱何处出现的概率最.-|||-小,其值为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算电子在最低能级的能量
根据量子力学中一维无限深方势阱模型，粒子在势阱中的能量由量子数n决定，能量公式为：
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \]
其中，n为量子数，h为普朗克常数，m为粒子质量，a为势阱宽度。对于电子在最低能级，n=1，因此能量为：
\[ E_1 = \frac{h^2}{8ma^2} \]
步骤 2：计算电子在最低能级的能量值
将普朗克常数h=6.626×10^-34 J·s，电子质量m=9.109×10^-31 kg，势阱宽度a=0.20 nm=2.0×10^-10 m代入上式，计算得到：
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (2.0 \times 10^{-10})^2} \]
\[ E_1 = 1.51 \times 10^{-18} J = 9.43 eV \]
步骤 3：计算电子在第一激发态时出现概率最小的位置
当电子处于第一激发态时，n=2，波函数为：
\[ \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2\pi}{a}x \]
概率密度函数为：
\[ |\psi(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2 \frac{2\pi}{a}x \]
令概率密度函数的导数为0，求得极值点：
\[ \frac{d|\psi(x)|^2}{dx} = 0 \]
解得：
\[ x = 0, \frac{a}{4}, \frac{a}{2}, \frac{3a}{4}, a \]
步骤 4：确定概率最小的位置及值
在x=0, a/2, a处，概率密度函数的二阶导数大于0，因此这些位置是概率密度函数的极小值点。因此，电子在势阱的x=0, 0.10 nm, 0.20 nm处出现的概率最小，其值均为零。
根据量子力学中一维无限深方势阱模型，粒子在势阱中的能量由量子数n决定，能量公式为：
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \]
其中，n为量子数，h为普朗克常数，m为粒子质量，a为势阱宽度。对于电子在最低能级，n=1，因此能量为：
\[ E_1 = \frac{h^2}{8ma^2} \]
步骤 2：计算电子在最低能级的能量值
将普朗克常数h=6.626×10^-34 J·s，电子质量m=9.109×10^-31 kg，势阱宽度a=0.20 nm=2.0×10^-10 m代入上式，计算得到：
\[ E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (2.0 \times 10^{-10})^2} \]
\[ E_1 = 1.51 \times 10^{-18} J = 9.43 eV \]
步骤 3：计算电子在第一激发态时出现概率最小的位置
当电子处于第一激发态时，n=2，波函数为：
\[ \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2\pi}{a}x \]
概率密度函数为：
\[ |\psi(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2 \frac{2\pi}{a}x \]
令概率密度函数的导数为0，求得极值点：
\[ \frac{d|\psi(x)|^2}{dx} = 0 \]
解得：
\[ x = 0, \frac{a}{4}, \frac{a}{2}, \frac{3a}{4}, a \]
步骤 4：确定概率最小的位置及值
在x=0, a/2, a处，概率密度函数的二阶导数大于0，因此这些位置是概率密度函数的极小值点。因此，电子在势阱的x=0, 0.10 nm, 0.20 nm处出现的概率最小，其值均为零。