3.用区间二分法求方程x^3-x-1=0在[1,2]的近似根，误差小于10^-3至少要二分多少次?

设 $f(x) = x^3 - x - 1$，则 $f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 5 > 0$，且 $f'(x) = 3x^2 - 1 > 0$（在[1,2]上），故方程在[1,2]内有唯一根。 由二分法误差公式 $\frac{b-a}{2^{n+1}} < 10^{-3}$，得 \[ 2^{n+1} > 10^3 \implies (n+1) \log_{10} 2 > 3 \implies n > \frac{3}{\log_{10} 2} - 1 \approx 8.9668 \] 取整数 $n = 9$。 **答案：** $\boxed{9}$