题目
设空间闭区域Omega由分片光滑的闭区面Sigma所围成，Sigma取外侧，若函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Omega上具有一阶连续偏导数，则曲面积分iint_(Sigma)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=______。 A iiint_(Omega)((partial P)/(partial y)+(partial Q)/(partial z)+(partial R)/(partial x))dxdydz B -iiint_(Omega)((partial P)/(partial x)+(partial Q)/(partial y)+(partial R)/(partial z))dxdydz C iiint_(Omega)((partial P)/(partial x)+(partial Q)/(partial y)+(partial R)/(partial z))dxdydz D -iiint_(Omega)((partial P)/(partial y)+(partial Q)/(partial z)+(partial R)/(partial x))dxdydz
设空间闭区域$\Omega$由分片光滑的闭区面$\Sigma$所围成，$\Sigma$取外侧，若函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则曲面积分$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=$______。
A $\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}+\frac{\partial R}{\partial x}\right)dxdydz$
B $-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$
C $\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$
D $-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}+\frac{\partial R}{\partial x}\right)dxdydz$
题目解答
答案
根据高斯公式，将曲面积分转换为三重积分，公式为：
$$
\oint_{\sum} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, dx \, dy \, dz
$$
其中，$\sum$ 为闭区域 $\Omega$ 的外侧曲面。题目条件满足高斯公式应用条件，直接对应选项 C。
**答案：C**
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，对于一个分片光滑的闭曲面$\Sigma$，如果函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上具有一阶连续偏导数，那么曲面积分$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$可以转换为三重积分$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$。
步骤 2：验证题目条件
题目中给出的条件满足高斯公式的应用条件，即闭区域$\Omega$由分片光滑的闭区面$\Sigma$所围成，$\Sigma$取外侧，且函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数。
步骤 3：选择正确答案
根据高斯公式，曲面积分$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$等于$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$，因此正确答案为选项C。
根据高斯公式，对于一个分片光滑的闭曲面$\Sigma$，如果函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上具有一阶连续偏导数，那么曲面积分$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$可以转换为三重积分$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$。
步骤 2：验证题目条件
题目中给出的条件满足高斯公式的应用条件，即闭区域$\Omega$由分片光滑的闭区面$\Sigma$所围成，$\Sigma$取外侧，且函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数。
步骤 3：选择正确答案
根据高斯公式，曲面积分$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$等于$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$，因此正确答案为选项C。