题目
例 53、设函数 =a(x)^2 与 =ln x 相切,则a的值等于 ()-|||-A、 dfrac (1)(2e) B、 dfrac (1)(e) C、e D、1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定切点
设切点为 $(x_0, y_0)$，则有 $y_0 = a{x_0}^2$ 和 $y_0 = \ln x_0$。因此，$a{x_0}^2 = \ln x_0$。
步骤 2：求导数
对 $y = a{x}^{2}$ 求导，得到 $y' = 2ax$。对 $y = \ln x$ 求导，得到 $y' = \dfrac{1}{x}$。由于两函数在切点处的导数相等，所以有 $2ax_0 = \dfrac{1}{x_0}$。
步骤 3：解方程
由 $2ax_0 = \dfrac{1}{x_0}$，得到 $2ax_0^2 = 1$。结合 $a{x_0}^2 = \ln x_0$，得到 $\ln x_0 = \dfrac{1}{2}$，从而 $x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$。将 $x_0 = \sqrt{e}$ 代入 $2ax_0^2 = 1$，得到 $2a(\sqrt{e})^2 = 1$，即 $2ae = 1$，从而 $a = \dfrac{1}{2e}$。
设切点为 $(x_0, y_0)$，则有 $y_0 = a{x_0}^2$ 和 $y_0 = \ln x_0$。因此，$a{x_0}^2 = \ln x_0$。
步骤 2：求导数
对 $y = a{x}^{2}$ 求导，得到 $y' = 2ax$。对 $y = \ln x$ 求导，得到 $y' = \dfrac{1}{x}$。由于两函数在切点处的导数相等，所以有 $2ax_0 = \dfrac{1}{x_0}$。
步骤 3：解方程
由 $2ax_0 = \dfrac{1}{x_0}$，得到 $2ax_0^2 = 1$。结合 $a{x_0}^2 = \ln x_0$，得到 $\ln x_0 = \dfrac{1}{2}$，从而 $x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$。将 $x_0 = \sqrt{e}$ 代入 $2ax_0^2 = 1$，得到 $2a(\sqrt{e})^2 = 1$，即 $2ae = 1$，从而 $a = \dfrac{1}{2e}$。