题目
2.矩阵A=}1&0&2&00&-2&0&0-1&0&1&00&0&0&1，矩阵B满足AB+B+A+2E=0，求|B+E|
2.矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&-2&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$，矩阵B满足$AB+B+A+2E=0$，求$|B+E|$
题目解答
答案
将方程 $ AB + B + A + 2E = 0 $ 变形为 $ (A + E)(B + E) = -E $。
取行列式得 $ |A + E| \cdot |B + E| = |-E| = 1 $。
计算 $ A + E $ 的行列式：
\[
A + E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad |A + E| = 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \times 2 - 2 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \times (-2) \times 2 - 2 \times (-1) = -12.
\]
因此，$ |B + E| = \frac{1}{|A + E|} = -\frac{1}{12} $。
答案：$\boxed{-\frac{1}{12}}$