题目
15、填空 极限 lim _((x, y) arrow(0, a)) (sin (2 x y))/(y)= （ ）.（3分）
15、填空 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{\sin (2 x y)}{y}=$ （ ）.
（3分）
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{\sin (2 x y)}{y}$，我们可以使用极限的性质和等价无穷小代换。下面是一个逐步的解题过程：
1. **识别极限形式**:
当 $(x, y) \rightarrow (0, a)$ 时，$x \rightarrow 0$ 且 $y \rightarrow a$。因此，$2xy \rightarrow 2 \cdot 0 \cdot a = 0$。
2. **使用等价无穷小代换**:
当 $u \rightarrow 0$ 时，$\sin u \sim u$。在这里，令 $u = 2xy$，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$2xy \rightarrow 0$，所以 $\sin(2xy) \sim 2xy$。
3. **代入等价无穷小**:
将 $\sin(2xy)$ 用 $2xy$ 替换，得到：
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{\sin (2 x y)}{y} = \lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{2 x y}{y}
\]
4. **简化表达式**:
在极限表达式中，可以消去 $y$（因为 $y \neq 0$）：
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{2 x y}{y} = \lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} 2 x
\]
5. **求极限**:
当 $x \rightarrow 0$ 时，$2x \rightarrow 2 \cdot 0 = 0$。因此：
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} 2 x = 0
\]
所以，极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0, a)} \frac{\sin (2 x y)}{y}$ 的值是 $\boxed{0}$。
解析
考查要点：本题主要考查二元函数的极限计算，特别是利用等价无穷小代换简化表达式的能力。
解题核心思路：
当$(x, y) \rightarrow (0, a)$时，$x \rightarrow 0$且$y \rightarrow a$。此时，分子中的$\sin(2xy)$中的参数$2xy$趋近于$0$，可以利用等价无穷小替换$\sin u \sim u$（当$u \rightarrow 0$时），将分式化简后直接求极限。
破题关键点：
- 识别变量趋近方向：明确$x$趋近于$0$，$y$趋近于常数$a$。
- 应用等价无穷小：将$\sin(2xy)$替换为$2xy$，简化分式。
- 约分消元：消去$y$后仅剩关于$x$的表达式，直接代入$x \rightarrow 0$即可。
步骤1：分析变量趋近性
当$(x, y) \rightarrow (0, a)$时，$x \rightarrow 0$，$y \rightarrow a$，因此$2xy \rightarrow 0$。
步骤2：等价无穷小代换
利用$\sin u \sim u$（当$u \rightarrow 0$时），令$u = 2xy$，则$\sin(2xy) \sim 2xy$。
步骤3：代入并化简分式
将$\sin(2xy)$替换为$2xy$，原式变为：
$\frac{\sin(2xy)}{y} \sim \frac{2xy}{y} = 2x.$
步骤4：求极限
当$x \rightarrow 0$时，$2x \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{(x, y) \rightarrow (0, a)} 2x = 0.$