题目
元 非齐次线性方程组 其中系数矩阵为，则下列命题正确的是A、若方程组无解，则 B、 若方程组有解，则 C 、若 ，则方程组必无解 D 、若，则方程组必有解
元 非齐次线性方程组 
其中系数矩阵为
，则下列命题正确的是
A、若方程组无解，则 
B、 若方程组有解，则 
C 、若 ，则方程组必无解
D 、若，则方程组必有解
题目解答
答案
答案：选A
这里我们需要熟悉非齐次方程组解与秩的关系：
设元 非齐次线性方程组 ，系数矩阵
和
组成的增广矩阵
（1）当方程组无解时，
（2）当方程组有唯一解时，
（3）当方程组有无穷多解时，
由题意，知
系数矩阵为
∴系数矩阵和组成的增广矩阵为
的矩阵
∴
∴
若
,则不可逆，可能有无穷多解也可能无解，故C、D选项的错误
当
，（即）时
∵
∴
故，方程组有唯一解
∴当
时（即），方程组可能有无穷多解，也可能有无解
∴对于A选项，若方程组无解，则 正确
对于B选项，若方程组有解，则 错误，因为当方程组有无穷多解时，
综上所述，A选项正确，B、C、D错误
解析
步骤 1：理解非齐次线性方程组解与秩的关系
设元 非齐次线性方程组 AX=b，系数矩阵和组成的增广矩阵$\overline {A}=(A|b)|$
（1）当方程组无解时，$R(A)\lt R(\overline {A})$
（2）当方程组有唯一解时，$R(A)=R(\overline {A})=n$
（3）当方程组有无穷多解时，$R(A)=R(\overline {A})=r\lt n$
步骤 2：分析系数矩阵和增广矩阵的秩
由题意，知
系数矩阵为${A}_{n}\times n$
∴系数矩阵和组成的增广矩阵$\overline {A}=(A|b)|$为$n\times (n+1)$的矩阵
∴$R(\overline {A})\leqslant n$
∴$R(A)\leqslant R(\overline {A})$
步骤 3：分析选项
若|A|=0,则不可逆，可能有无穷多解也可能无解，故C、D选项的错误
当R(A)=n，（即l $A|\neq 0$）时
∵$R(A)\leqslant R(\overline {A})$
∴$R(A)=R(\overline {A})=n$
故，方程组有唯一解
∴当$R(A)\lt n$时（即|A|=0），方程组可能有无穷多解，也可能有无解
∴对于A选项，若方程组无解，则 |A|=0正确
对于B选项，若方程组有解，则 l $A|\neq 0$错误，因为当方程组有无穷多解时， |A|=0
综上所述，A选项正确，B、C、D错误
设元 非齐次线性方程组 AX=b，系数矩阵和组成的增广矩阵$\overline {A}=(A|b)|$
（1）当方程组无解时，$R(A)\lt R(\overline {A})$
（2）当方程组有唯一解时，$R(A)=R(\overline {A})=n$
（3）当方程组有无穷多解时，$R(A)=R(\overline {A})=r\lt n$
步骤 2：分析系数矩阵和增广矩阵的秩
由题意，知
系数矩阵为${A}_{n}\times n$
∴系数矩阵和组成的增广矩阵$\overline {A}=(A|b)|$为$n\times (n+1)$的矩阵
∴$R(\overline {A})\leqslant n$
∴$R(A)\leqslant R(\overline {A})$
步骤 3：分析选项
若|A|=0,则不可逆，可能有无穷多解也可能无解，故C、D选项的错误
当R(A)=n，（即l $A|\neq 0$）时
∵$R(A)\leqslant R(\overline {A})$
∴$R(A)=R(\overline {A})=n$
故，方程组有唯一解
∴当$R(A)\lt n$时（即|A|=0），方程组可能有无穷多解，也可能有无解
∴对于A选项，若方程组无解，则 |A|=0正确
对于B选项，若方程组有解，则 l $A|\neq 0$错误，因为当方程组有无穷多解时， |A|=0
综上所述，A选项正确，B、C、D错误