12、单选题（4分）设随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=(lambda^k)/(ak!)(lambda>0,k=1,2,3,...)，则a=（）。A. e^lambdaB. e^-lambda-1C. e^lambda-1D. e^-lambda

本题考查离散型随机变量分布律的性质，解题思路是利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质来求解$a$的值。

已知随机变量$\xi$的分布律为$P(\xi = k)=\frac{\lambda^{k}}{ak!}(\lambda\gt0,k = 1,2,3,\cdots)$，根据离散型随机变量分布律的性质$\sum_{k = 1}^{\infty}P(\xi = k)=1$，可得：
$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}=1$
因为$a$为常数，可将其提出，即$\frac{1}{a}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=1$。
根据指数函数的幂级数展开式$e^{x}=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$，那么$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}-1$。
令$x = \lambda$，则$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}-1$。
将$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}-1$代入$\frac{1}{a}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=1$中，得到$\frac{1}{a}(e^{\lambda}-1)=1$。
等式两边同时乘以$a$可得$e^{\lambda}-1 = a$。