题目
若f(z)=u+iv是解析函数，f(z)=u+iv，则 K =（）。
若
是解析函数，
，则 K =（）。
题目解答
答案
对于解析函数而言，需满足有连续的偏导数，因此，
，
，进一步计算，所以
。
故本题的答案为3。
解析
步骤 1：确定解析函数的条件
解析函数f(z)=u+iv需要满足柯西-黎曼方程，即$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$。同时，u和v需要有连续的偏导数。
步骤 2：计算u的偏导数
给定$u=kx{y}^{2}+{x}^{3}$，计算其偏导数：
$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial (kx{y}^{2}+{x}^{3})}{\partial x}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$
$\dfrac {\partial u}{\partial y}=\dfrac {\partial (kx{y}^{2}+{x}^{3})}{\partial y}=2kxy$
步骤 3：应用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$，所以$\dfrac {\partial v}{\partial y}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$。同时，$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$，所以$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=2kxy$。
步骤 4：确定k的值
为了满足柯西-黎曼方程，我们需要找到一个v，使得$\dfrac {\partial v}{\partial y}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$和$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=2kxy$。通过观察，我们可以发现，如果k=3，那么$\dfrac {\partial v}{\partial y}=3{y}^{2}+3{x}^{2}$和$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=6xy$，这满足柯西-黎曼方程。
解析函数f(z)=u+iv需要满足柯西-黎曼方程，即$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$。同时，u和v需要有连续的偏导数。
步骤 2：计算u的偏导数
给定$u=kx{y}^{2}+{x}^{3}$，计算其偏导数：
$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial (kx{y}^{2}+{x}^{3})}{\partial x}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$
$\dfrac {\partial u}{\partial y}=\dfrac {\partial (kx{y}^{2}+{x}^{3})}{\partial y}=2kxy$
步骤 3：应用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial v}{\partial y}$，所以$\dfrac {\partial v}{\partial y}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$。同时，$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-\dfrac {\partial v}{\partial x}$，所以$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=2kxy$。
步骤 4：确定k的值
为了满足柯西-黎曼方程，我们需要找到一个v，使得$\dfrac {\partial v}{\partial y}=k{y}^{2}+3{x}^{2}$和$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=2kxy$。通过观察，我们可以发现，如果k=3，那么$\dfrac {\partial v}{\partial y}=3{y}^{2}+3{x}^{2}$和$-\dfrac {\partial v}{\partial x}=6xy$，这满足柯西-黎曼方程。