题目
若方阵可以表示成一些初等矩阵的乘积，则方阵必定是可逆矩阵正确错误
若方阵
可以表示成一些初等矩阵的乘积，则方阵必定是可逆矩阵
- 正确
- 错误
题目解答
答案
由于方阵可以表示成一些初等矩阵的乘积，则有：
，其中
为初等矩阵，由于初等矩阵是可逆矩阵，由此可以得到：
，则
。
解析
步骤 1：方阵表示成初等矩阵的乘积
方阵A可以表示成一些初等矩阵的乘积，即$A={P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{n}$，其中P1,P2 ,···,Pn为初等矩阵。
步骤 2：初等矩阵的可逆性
初等矩阵是可逆的，即每个初等矩阵都有一个逆矩阵，记为${P}_{i}^{-1}$。
步骤 3：方阵的可逆性
由于初等矩阵是可逆的，所以有${P}_{n}^{-1}\cdots {{P}_{2}}^{-1}{P}_{1}^{-1}A=E$，其中E是单位矩阵。这表明A的逆矩阵为${P}_{n}^{-1}\cdots {{P}_{2}}^{-1}{P}_{1}^{-1}$，因此方阵A是可逆的。
方阵A可以表示成一些初等矩阵的乘积，即$A={P}_{1}{P}_{2}\cdots {P}_{n}$，其中P1,P2 ,···,Pn为初等矩阵。
步骤 2：初等矩阵的可逆性
初等矩阵是可逆的，即每个初等矩阵都有一个逆矩阵，记为${P}_{i}^{-1}$。
步骤 3：方阵的可逆性
由于初等矩阵是可逆的，所以有${P}_{n}^{-1}\cdots {{P}_{2}}^{-1}{P}_{1}^{-1}A=E$，其中E是单位矩阵。这表明A的逆矩阵为${P}_{n}^{-1}\cdots {{P}_{2}}^{-1}{P}_{1}^{-1}$，因此方阵A是可逆的。