题目
2、设 D= -1 2 5 -3 2 4 6 8 5 2 8 3 5 6 4 3 求 (A)_(41)+2(A)_(42)+8(A)_(43)+3(A)_(44) 的值,其中A4,为D中第四行-|||-元素 _(4),(i=1,2,3,4) 的代数余子式.(7分)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解代数余子式的概念
代数余子式是行列式中某个元素的余子式与该元素的代数符号的乘积。对于一个n阶行列式D，元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$定义为$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是去掉第i行和第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
步骤 2：构造新的行列式
根据题目要求，我们需要计算$5A_{41}+2A_{42}+8A_{43}+3A_{44}$。根据代数余子式的定义，这相当于将行列式D的第四行替换为$(5, 2, 8, 3)$，然后计算这个新行列式的值。因此，我们构造一个新的行列式$D_1$如下：
$$D_1 = \left |\begin{matrix} -1& 2& 5& -3\\ 2& 4& 6& 8\\ 5& 2& 8& 3\\ 5& 2& 8& 3\end{matrix} | \right.$$
步骤 3：计算新行列式的值
观察$D_1$的第三行和第四行，发现它们完全相同。根据行列式的性质，如果一个行列式中有两行（或两列）完全相同，则该行列式的值为0。因此，$D_1$的值为0。
代数余子式是行列式中某个元素的余子式与该元素的代数符号的乘积。对于一个n阶行列式D，元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$定义为$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是去掉第i行和第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
步骤 2：构造新的行列式
根据题目要求，我们需要计算$5A_{41}+2A_{42}+8A_{43}+3A_{44}$。根据代数余子式的定义，这相当于将行列式D的第四行替换为$(5, 2, 8, 3)$，然后计算这个新行列式的值。因此，我们构造一个新的行列式$D_1$如下：
$$D_1 = \left |\begin{matrix} -1& 2& 5& -3\\ 2& 4& 6& 8\\ 5& 2& 8& 3\\ 5& 2& 8& 3\end{matrix} | \right.$$
步骤 3：计算新行列式的值
观察$D_1$的第三行和第四行，发现它们完全相同。根据行列式的性质，如果一个行列式中有两行（或两列）完全相同，则该行列式的值为0。因此，$D_1$的值为0。