题目
微分方程(x-2)y'=y+2((x-2))^3的通解是（）A (x-2)y'=y+2((x-2))^3B (x-2)y'=y+2((x-2))^3C (x-2)y'=y+2((x-2))^3D (x-2)y'=y+2((x-2))^3
微分方程
的通解是（）
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
∵
∴
∴
∴
两端积分：
∴原方程的通解是：
综上所述：答案
正确。
解析
步骤 1：将微分方程转换为可分离变量的形式
原方程为$(x-2)y'=y+2{(x-2)}^{3}$，可以写为$(x-2)\dfrac {dy}{dx}=y+2{(x-2)}^{3}$。将方程两边同时除以$(x-2)$，得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x-2}+2{(x-2)}^{2}$。
步骤 2：分离变量
将方程写为$\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {y}{x-2}=2{(x-2)}^{2}$，这是一个一阶线性微分方程。为了分离变量，我们使用积分因子法。积分因子为$e^{\int -\dfrac {1}{x-2}dx}=e^{-\ln|x-2|}=\dfrac {1}{|x-2|}$。乘以积分因子后，方程变为$\dfrac {1}{x-2}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {y}{(x-2)^{2}}=2(x-2)$。
步骤 3：求解微分方程
方程左边是$\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x-2})$，因此方程可以写为$\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x-2})=2(x-2)$。对两边积分，得到$\dfrac {y}{x-2}=\int 2(x-2)dx$。计算积分，得到$\dfrac {y}{x-2}={(x-2)}^{2}+C$。最后，解出$y$，得到$y={(x-2)}^{3}+C(x-2)$。
原方程为$(x-2)y'=y+2{(x-2)}^{3}$，可以写为$(x-2)\dfrac {dy}{dx}=y+2{(x-2)}^{3}$。将方程两边同时除以$(x-2)$，得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x-2}+2{(x-2)}^{2}$。
步骤 2：分离变量
将方程写为$\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {y}{x-2}=2{(x-2)}^{2}$，这是一个一阶线性微分方程。为了分离变量，我们使用积分因子法。积分因子为$e^{\int -\dfrac {1}{x-2}dx}=e^{-\ln|x-2|}=\dfrac {1}{|x-2|}$。乘以积分因子后，方程变为$\dfrac {1}{x-2}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {y}{(x-2)^{2}}=2(x-2)$。
步骤 3：求解微分方程
方程左边是$\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x-2})$，因此方程可以写为$\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x-2})=2(x-2)$。对两边积分，得到$\dfrac {y}{x-2}=\int 2(x-2)dx$。计算积分，得到$\dfrac {y}{x-2}={(x-2)}^{2}+C$。最后，解出$y$，得到$y={(x-2)}^{3}+C(x-2)$。