设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)= ) :-|||-(3)X的分布函数.-|||-解:(1) 根据 {int )_(-infty )^+infty f(x)dx=1 □ ①-|||-得到 (int )_(0)^1kcdot dx+(int )_(1)^2(2-x)dx=1 ②-|||-1 dfrac (1)(2)k+2-dfrac (3)(2)=1 ,所以 k=1 .-|||-(2) (Xlt dfrac (3)(2))=(int )_(-infty )^dfrac (1{2)}f(x)dx=(int )_(0)^dfrac (1{2)}(2-x)dx=dfrac (15)(8) - ③-|||-(3) 1 (x)=P(Xleqslant x)=(int )_(-infty )^xf(x)dx 。 ④-|||-当 lt 0 ,一 F(x)=0 ⑤-|||-当 leqslant xlt 1 , .(x)=(int )_(0)^1xdx=dfrac (1)(2) ,"-|||-当 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_47029ac0c1c733487087dc43d03f3f50.jpgleqslant xlt 2 . (x)=(int )_(0)^1xdx+(int )_(1)^2(2-x)dx=1 - ⑥-|||-当 geqslant 2 l F(x)=1 l ⑦-|||-请对方框内容进行判断,若正确请填"对",若错误请填"错"

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的密度函数性质、概率计算及分布函数的求解方法。
解题思路：

1. 求常数k：利用密度函数的归一性条件，即积分等于1，分段积分求解。
2. 求概率P(X < 3/2)：根据密度函数分段积分，注意积分区间的划分。
3. 求分布函数：分区间讨论，逐段积分累加，注意每段的表达式形式。
   关键点：正确划分积分区间，准确计算分段积分，避免混淆积分上下限。

(1) 求常数k

归一性条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
分段积分：
$\int_{0}^{1} kx \, dx + \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = 1$
计算得：
$\frac{1}{2}k + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{2}k + \left( (4 - 2) - (2 - 0.5) \right) = \frac{1}{2}k + 0.5 = 1$
解得：
$k = 1$

(2) 求$P(X < \frac{3}{2})$

分段积分：
$P(X < \frac{3}{2}) = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{\frac{3}{2}} (2 - x) \, dx$
计算得：
$\left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} + \left( 3 - \frac{9}{8} - 2 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$

(3) 求分布函数$F(x)$

分区间讨论：

1. 当$x < 0$时：
   $F(x) = 0$
2. 当$0 \leq x < 1$时：
   $F(x) = \int_{0}^{x} t \, dt = \frac{x^2}{2}$
3. 当$1 \leq x < 2$时：
   $F(x) = \int_{0}^{1} t \, dt + \int_{1}^{x} (2 - t) \, dt = \frac{1}{2} + \left( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \right) = 2x - \frac{x^2}{2} - 1$
4. 当$x \geq 2$时：
   $F(x) = 1$