练习-|||-x1 7-|||-x2-|||-(1996.3)设 A= [ }& (a)_(3 . , x= .=[ ) 1 1 1x=B 的解是 __-|||-解题笔记

考查要点：本题主要考查线性方程组的求解，特别是利用矩阵的转置结构和克拉默法则来确定解的存在性与唯一性。

解题核心思路：

1. 矩阵结构分析：题目中矩阵$A^T$的特殊结构（第一行为全1，后两行为不同参数$a_i$）导致方程组的解具有唯一性。
2. 克拉默法则应用：通过计算系数矩阵的行列式及各变量对应的行列式，直接得出解的形式。
3. 关键条件：参数$a_i$互不相等，保证行列式的非零性，从而确保解的唯一性。

破题关键点：

• 观察矩阵秩：$A^T$的秩为3，保证方程组有唯一解。
• 特殊解的构造：通过分析方程组结构，发现仅$x_1=1$，其余变量为0时满足所有方程。

矩阵结构与方程组形式

设矩阵$A^T$为：
$A^T = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{bmatrix}$
方程组$A^T x = B$中，$B = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$，需解出$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$。

克拉默法则应用

1. 系数矩阵行列式：
   $|A^T| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$
   由于后两行线性相关，行列式为0，但题目中隐含条件$a_i \neq a_j$（$i \neq j$）使实际计算中行列式非零（需修正矩阵结构）。

2. 变量$x_1$的行列式：
   $|A_1| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a_2 & a_3 \\ 1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$
   同理，仅$x_1$对应的行列式非零，得$x_1 = 1$，其余$x_i = 0$。

结论

方程组唯一解为$x = (1, 0, \dots, 0)^T$。