题目
11.设n阶方阵A的伴随矩阵为A`,证明:-|||-(1) |A|=(|A|)^n-1.-|||-(2) (A)= ) n,R(A)=n, 1,R(A)=n-1, 0,R(A)lt n-1 .-|||-小h
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $|A'|={|A|}^{n-1}$
根据伴随矩阵的定义，我们知道 $AA' = |A|E$，其中 $E$ 是单位矩阵。对两边取行列式，得到 $|AA'| = ||A|E|$。由于 $|AA'| = |A||A'|$，而 $||A|E| = |A|^n$，因此有 $|A||A'| = |A|^n$。由此可得 $|A'| = |A|^{n-1}$。
步骤 2：证明 $R(A)=$ $\left \{ \begin{matrix} n,R(A)=n,\\ 1,R(A)=n-1,\\ 0,R(A)\lt n-1.\end{matrix} \right.$
1. 当 $R(A)=n$ 时，$A$ 可逆，即 $|A| \neq 0$。此时 $AA' = |A|E$，$A'$ 也是可逆的，因此 $R(A') = n$。
2. 当 $R(A)=n-1$ 时，$A$ 不可逆，即 $|A| = 0$。此时 $AA' = 0$，但 $A'$ 不全为零，因为 $A$ 的秩为 $n-1$，所以 $A'$ 的秩为 $1$。
3. 当 $R(A)
根据伴随矩阵的定义，我们知道 $AA' = |A|E$，其中 $E$ 是单位矩阵。对两边取行列式，得到 $|AA'| = ||A|E|$。由于 $|AA'| = |A||A'|$，而 $||A|E| = |A|^n$，因此有 $|A||A'| = |A|^n$。由此可得 $|A'| = |A|^{n-1}$。
步骤 2：证明 $R(A)=$ $\left \{ \begin{matrix} n,R(A)=n,\\ 1,R(A)=n-1,\\ 0,R(A)\lt n-1.\end{matrix} \right.$
1. 当 $R(A)=n$ 时，$A$ 可逆，即 $|A| \neq 0$。此时 $AA' = |A|E$，$A'$ 也是可逆的，因此 $R(A') = n$。
2. 当 $R(A)=n-1$ 时，$A$ 不可逆，即 $|A| = 0$。此时 $AA' = 0$，但 $A'$ 不全为零，因为 $A$ 的秩为 $n-1$，所以 $A'$ 的秩为 $1$。
3. 当 $R(A)