题目

11.设n阶方阵A的伴随矩阵为A`,证明:-|||-(1) |A|=(|A|)^n-1.-|||-(2) (A)= ) n,R(A)=n, 1,R(A)=n-1, 0,R(A)lt n-1 .-|||-小h

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及其行列式、秩的计算，涉及矩阵的秩与行列式的关系、伴随矩阵与原矩阵的关系。

解题核心思路：

  1. 第一问：利用伴随矩阵与原矩阵的乘积公式 $AA' = |A|E$，通过行列式运算推导出 $|A'|$ 的表达式。
  2. 第二问：根据原矩阵 $A$ 的秩的不同情况，结合伴随矩阵的秩与原矩阵秩的关系，分情况讨论 $R(A')$ 的值。

破题关键点：

  • 行列式关系：通过公式 $AA' = |A|E$，结合行列式的乘积性质，直接推导 $|A'|$。
  • 秩的分情况讨论：明确当 $R(A) = n$ 时 $A$ 可逆，$R(A) = n-1$ 时伴随矩阵秩为1，$R(A) < n-1$ 时伴随矩阵为零矩阵。

(1) 证明 $|A'| = |A|^{n-1}$

利用伴随矩阵的定义公式

由伴随矩阵的性质，有：
$AA' = |A|E$

取行列式

对等式两边取行列式：
$|AA'| = ||A|E|$

行列式的乘积性质

左边可分解为：
$|A| \cdot |A'| = |A|^n$

化简得结果

两边同时除以 $|A|$（若 $|A| \neq 0$），或直接整理得：
$|A'| = |A|^{n-1}$

结论：无论 $|A|$ 是否为0，均有 $|A'| = |A|^{n-1}$。

(2) 分析 $R(A')$ 的分段表达式

情况1：$R(A) = n$

  • 原矩阵可逆：$|A| \neq 0$，此时 $A'$ 可表示为 $A' = |A|A^{-1}$。
  • 秩的传递性：$A^{-1}$ 可逆，故 $R(A') = R(A^{-1}) = n$。

情况2：$R(A) = n-1$

  • 行列式为0：$|A| = 0$，故 $AA' = 0$。
  • 非零伴随矩阵：存在非零列向量 $x$ 使得 $Ax = 0$，伴随矩阵 $A'$ 的列向量均为齐次方程的解。
  • 基础解系维数：基础解系仅含1个向量，故 $R(A') = 1$。

情况3：$R(A) < n-1$

  • 所有n-1阶子式为0：伴随矩阵 $A'$ 的所有元素均为0。
  • 零矩阵的秩：$R(A') = 0$。