题目

5.函数f(x)=lim_(ntoinfty)(1+x)/(1+x^2n)，讨论函数f(x)的间断点.

5.函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论函数f(x)的间断点.

题目解答

答案

计算极限得：

  • 当 $ |x| < 1 $ 时，$ \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = 1+x $。
  • 当 $ |x| > 1 $ 时，$ \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = 0 $。
  • 当 $ x = 1 $ 时，极限为 $ 1 $。
  • 当 $ x = -1 $ 时，极限为 $ 0 $。

函数 $ f(x) $ 定义为：
$f(x) = \begin{cases} 1+x & -1 < x < 1, \\0 & x < -1 \text{ 或 } x > 1, \\1 & x = 1, \\0 & x = -1.\end{cases}$

在 $ x = 1 $ 处，左极限为 $ 2 $，右极限为 $ 0 $，故为跳跃间断点。
在 $ x = -1 $ 处，左、右极限均为 $ 0 $，与函数值相等，故连续。

答案：
函数 $ f(x) $ 的间断点为 $\boxed{1}$，为跳跃间断点。

解析

本题考查函数间断点的讨论，解题的关键在于先求出函数$f(x)$的表达式，再根据间断点的定义判断函数在哪些点处不连续。

  1. 求函数$f(x)$的表达式：
    • 当$\vert x\vert\lt 1$时，$\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0$，根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}=\frac{1+x}{1 + 0}=1 + x$。
    • 当$\vert x\vert\gt 1$时，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x^{2n}}=0$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{2n - 1}}}{\frac{1}{x^{2n}}+1}=0$。
    • 当$x = 1$时，$f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 1}{1 + 1^{2n}}=\frac{2}{2}=1$。
    • 当$x = -1$时，$f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 - 1}{1 + (-1)^{2n}}=0$。
      综上，函数$f(x)$的表达式为$f(x)=\begin{cases}1 + x, & -1\lt x\lt 1\\0, & x\lt -1或x\gt 1\\1, & x = 1\\0, & x = -1\end{cases}$。
  2. 判断函数的间断点：
    • 判断$x = 1$处的连续性：
      • 计算左极限$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2$。
      • 计算右极限$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}0 = 0$。
        因为左极限$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=2\neq\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=0$，所以$x = 1$是函数$f(x)$的间断点，且为跳跃间断点。
    • 判断$x = -1$处的连续性：
      • 计算左极限$\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}0 = 0$。
      • 计算右极限$\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}(1 + x)=1 - 1 = 0$。
        又因为$f(-1)=0$，即$\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=f(-1)=0$，所以$x = -1$是函数$f(x)$的连续点。