3.求满足方程 (x)=sin x-(int )_(0)^xf(t)dt 的连续函数f(x )的表达式.

步骤 1：确定初始条件
给定方程为 $f(x)=\sin x-{\int }_{0}^{x}f(t)dt$，当 $x=0$ 时，$f(0)=\sin 0-{\int }_{0}^{0}f(t)dt=0$。因此，$f(0)=0$。

步骤 2：求导
对给定方程两边同时求导，得到 $f'(x)=\cos x-f(x)$。这是一个一阶线性微分方程。

步骤 3：求解微分方程
一阶线性微分方程 $y'+y=\cos x$ 的通解形式为 $y={e}^{-x}\int {e}^{x}\cos xdx$。其中，$P=1$，$Q=\cos x$，${e}^{\int Pdx}={e}^{x}$。因此，$y={e}^{-x}\int {e}^{x}\cos xdx$。

步骤 4：计算积分
$\int {e}^{x}\cos xdx$ 可以通过分部积分法求解。设 $u=\cos x$，$dv={e}^{x}dx$，则 $du=-\sin xdx$，$v={e}^{x}$。因此，$\int {e}^{x}\cos xdx={e}^{x}\cos x+\int {e}^{x}\sin xdx$。再设 $u=\sin x$，$dv={e}^{x}dx$，则 $du=\cos xdx$，$v={e}^{x}$。因此，$\int {e}^{x}\sin xdx={e}^{x}\sin x-\int {e}^{x}\cos xdx$。将这两个结果代入，得到 $\int {e}^{x}\cos xdx=\dfrac {1}{2}({e}^{x}\cos x+{e}^{x}\sin x)+c$。

步骤 5：代入通解
将 $\int {e}^{x}\cos xdx=\dfrac {1}{2}({e}^{x}\cos x+{e}^{x}\sin x)+c$ 代入 $y={e}^{-x}\int {e}^{x}\cos xdx$，得到 $y={e}^{-x}\dfrac {1}{2}({e}^{x}\cos x+{e}^{x}\sin x)+c{e}^{-x}$。化简得到 $y=\dfrac {1}{2}(\sin x+\cos x)+c{e}^{-x}$。

步骤 6：确定常数
根据初始条件 $f(0)=0$，代入 $y=\dfrac {1}{2}(\sin x+\cos x)+c{e}^{-x}$，得到 $0=\dfrac {1}{2}(\sin 0+\cos 0)+c{e}^{0}$，即 $0=\dfrac {1}{2}+c$。因此，$c=-\dfrac {1}{2}$。

步骤 7：写出最终解
将 $c=-\dfrac {1}{2}$ 代入 $y=\dfrac {1}{2}(\sin x+\cos x)+c{e}^{-x}$，得到 $y=\dfrac {1}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac {1}{2}{e}^{-x}$。因此，$f(x)=\dfrac {1}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac {1}{2}{e}^{-x}$。