题目

5. lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(xtan x)-dfrac (1)({x)^2});

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理∞−∞型未定式的能力，需要将其转化为0/0型或∞/∞型未定式，并运用泰勒展开或洛必达法则求解。

解题核心思路：

  1. 通分将原式转化为分式形式，化简为0/0型未定式；
  2. 选择泰勒展开或洛必达法则展开或求导，找到主要项；
  3. 通过近似展开或多次求导，消去高阶无穷小，最终求得极限。

破题关键点：

  • 识别未定式类型，通过通分转化为分式形式；
  • 灵活选择方法（泰勒展开或洛必达法则），简化计算；
  • 正确处理等价无穷小，如$\tan x \sim x + \dfrac{x^3}{3}$。

步骤1：通分合并表达式

原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{x\tan x}-\dfrac {1}{{x}^{2}}\right)$

通分得：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{x - \tan x}{x^2 \tan x}$

步骤2：泰勒展开法

将$\tan x$展开为泰勒级数：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$

代入分子和分母：

  • 分子：$x - \tan x = -\dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
  • 分母：$x^2 \tan x = x^2 \left(x + \dfrac{x^3}{3}\right) = x^3 + \dfrac{x^5}{3} = x^3 + o(x^3)$

因此，分式化简为：
$\dfrac{-\dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3 + o(x^3)} = \dfrac{-\dfrac{1}{3} + o(1)}{1 + o(1)} \xrightarrow{x \to 0} -\dfrac{1}{3}$

步骤3：洛必达法则验证

对分式$\dfrac{x - \tan x}{x^2 \tan x}$应用洛必达法则：

  1. 第一次求导：

    • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(x - \tan x) = 1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$
    • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(x^2 \tan x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x$

    分式变为：
    $\dfrac{-\tan^2 x}{2x \tan x + x^2 \sec^2 x}$

  2. 第二次求导（若仍为0/0型）：

    • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(-\tan^2 x) = -2 \tan x \sec^2 x$
    • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}\left(2x \tan x + x^2 \sec^2 x\right) = 2 \tan x + 2x \sec^2 x + 2x \sec^2 x + x^2 \cdot 2 \sec^2 x \tan x$

    代入$x \to 0$，高阶项可忽略，最终化简得极限值$-\dfrac{1}{3}$。