题目
6-9 一圆盘半径 =3.00times (10)^-2m, 圆盘均匀带电,-|||-电荷面密度 rho =2.00times (10)^-5Ccdot (m)^-2 (1)求轴线上的电势-|||-分布;(2)根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布;-|||-(3)`计算离盘心30.0 cm处的电势和电场强度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算轴线上的电势分布
轴线上任一点的电势可以由圆盘上所有电荷元贡献的电势叠加得到。对于圆盘上任意一点，其电荷元 $dq$ 对轴线上一点 $x$ 的电势贡献为 $dV = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r}$，其中 $r$ 是电荷元到点 $x$ 的距离。由于圆盘均匀带电，电荷元 $dq = \sigma dA$，其中 $dA$ 是圆盘上微小面积元。在轴线上，$r = \sqrt{x^2 + r^2}$，其中 $r$ 是圆盘上微小面积元到圆心的距离。因此，轴线上任一点的电势为 $V(x) = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dA}{\sqrt{x^2 + r^2}}$。积分范围是整个圆盘，即 $0 \leq r \leq R$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。将 $dA = r dr d\theta$ 代入，得到 $V(x) = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int_0^{2\pi} \int_0^R \frac{r dr d\theta}{\sqrt{x^2 + r^2}}$。积分后得到 $V(x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (\sqrt{R^2 + x^2} - x)$。
步骤 2：根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布
电场强度 $\vec{E}$ 和电势 $V$ 的关系为 $\vec{E} = -\nabla V$。在轴线上，电场强度只有 $x$ 分量，即 $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$。将 $V(x)$ 代入，得到 $E_x = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (1 - \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}})$。
步骤 3：计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度
将 $x = 30.0cm = 0.300m$ 代入 $V(x)$ 和 $E_x$，得到 $V(0.300) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (\sqrt{R^2 + 0.300^2} - 0.300)$ 和 $E_x(0.300) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (1 - \frac{0.300}{\sqrt{R^2 + 0.300^2}})$。代入 $R = 3.00\times {10}^{-2}m$ 和 $\sigma = 2.00\times {10}^{-5}C\cdot {m}^{-2}$，计算得到 $V(0.300) = 1691V$ 和 $E_x(0.300) = 5607V\cdot {m}^{-1}$。
轴线上任一点的电势可以由圆盘上所有电荷元贡献的电势叠加得到。对于圆盘上任意一点，其电荷元 $dq$ 对轴线上一点 $x$ 的电势贡献为 $dV = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r}$，其中 $r$ 是电荷元到点 $x$ 的距离。由于圆盘均匀带电，电荷元 $dq = \sigma dA$，其中 $dA$ 是圆盘上微小面积元。在轴线上，$r = \sqrt{x^2 + r^2}$，其中 $r$ 是圆盘上微小面积元到圆心的距离。因此，轴线上任一点的电势为 $V(x) = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dA}{\sqrt{x^2 + r^2}}$。积分范围是整个圆盘，即 $0 \leq r \leq R$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。将 $dA = r dr d\theta$ 代入，得到 $V(x) = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int_0^{2\pi} \int_0^R \frac{r dr d\theta}{\sqrt{x^2 + r^2}}$。积分后得到 $V(x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (\sqrt{R^2 + x^2} - x)$。
步骤 2：根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布
电场强度 $\vec{E}$ 和电势 $V$ 的关系为 $\vec{E} = -\nabla V$。在轴线上，电场强度只有 $x$ 分量，即 $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$。将 $V(x)$ 代入，得到 $E_x = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (1 - \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}})$。
步骤 3：计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度
将 $x = 30.0cm = 0.300m$ 代入 $V(x)$ 和 $E_x$，得到 $V(0.300) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (\sqrt{R^2 + 0.300^2} - 0.300)$ 和 $E_x(0.300) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (1 - \frac{0.300}{\sqrt{R^2 + 0.300^2}})$。代入 $R = 3.00\times {10}^{-2}m$ 和 $\sigma = 2.00\times {10}^{-5}C\cdot {m}^{-2}$，计算得到 $V(0.300) = 1691V$ 和 $E_x(0.300) = 5607V\cdot {m}^{-1}$。